1 . （1）设，，，用综合法证明：；
（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.

2 . 设．
(1)若，证明：；
(2)已知，且，用分析法证明：．

3 . （1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.我们将这一事实表示为不等式：当时，有，请证明这个不等式；
（2）设的三边长分别为，请利用第（1）问已证不等式证明：.

4 . （1）求证：；
（2）已知，，且，用反证法证明：和中至少有一个小于2.

5 . 用适当的方法证明下列命题，求证：
（1）；（）
（2）

6 . 已知函数.
（1）若函数在上是增函数，求正数的取值范围；
（2）当时，设函数的图象与x轴的交点为，，曲线在，两点处的切线斜率分别为，，求证：+.

7 . 设和是两个等差数列，记，
其中表示这个数中最大的数．
（Ⅰ）若，，求的值，并证明是等差数列；
（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．

8 . 已知椭圆具有如下性质：若、是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上的任意一点，当直线、的斜率都存在，并记为、时，则与之积是与点位置无关的定值．试写出双曲线具有的类似的性质，并加以证明．

9 . 求证：