23-24高三上·北京·期中
名校
1 . 已知
是无穷数列，
，
，且对于中任意两项
，
，在中都存在一项
，使得
.
(1)若
，
，求
；
(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；
(3)若
，求数列的通项公式.
是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得.(1)若
，，求；(2)若
，求证：数列中有无穷多项为0；(3)若
，求数列的通项公式.
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2 . 如果
同时满足以下三个条件：
①
；②对任意
，
成立；③当
，
，
时，总有
成立，则称
为“理想函数”.有下列两个命题：
命题
：若为“理想函数”，则存在
且
，使
成立；
命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有
成立.
则下列说法正确的是（ ）
同时满足以下三个条件：①
；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题：命题
：若为“理想函数”，则存在且，使成立；命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.则下列说法正确的是（ ）
| A．命题为假命题，命题为真命题 | B．命题为真命题，命题为假命题 |
| C．命题、命题都是真命题 | D．命题、命题都是假命题 |
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3 . 对于定义在
上的函数
如果同时满足以下三个条件：①；②对任意
成立；③当
时，总有成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：
命题：若为“理想函数”，则对任意
，都有
；
命题：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.
则下列说法正确的是（ ）
上的函数如果同时满足以下三个条件：①；②对任意成立；③当时，总有成立.则称为“理想函数”.有下列两个命题：命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有；命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.则下列说法正确的是（ ）
| A．命题､命题都是真命题 |
| B．命题为真命题，命题为假命题 |
| C．命题为假命题，命题为真命题 |
| D．命题､命题都是假命题 |
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4 . 对任意实数
，记
为不大于的最大整数，再记
，由此可定义函数
，进而可定义递推数列
.
(1)求
的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).
(2)求证：①的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.
(3)为进一步研究各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
，记为不大于的最大整数，再记，由此可定义函数，进而可定义递推数列.(1)求
的定义域，并判断是否有反函数(只需写出判断结果，无需说明理由).(2)求证：①
的每一项都是正有理数；②的任意两项均不同.(3)为进一步研究
各项的取值情况，有人把该数列排成了下述的“二分树状表”，并探究了图中由箭头连接的两数间的关系，进而猜想“的各项取遍所有正有理数”.请你判断该猜想是否正确，并说明理由.
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5 . 对于给定的整数
，若非空集合
满足如下条件：①
；②
；③对任意、
，若
，则
，则称集合为“减集”.
(1)分别判断集合
是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由；
(2)证明：不存在“减2集”；
(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）
，若非空集合满足如下条件：①；②；③对任意、，若，则，则称集合为“减集”.(1)分别判断集合
是否为“减0集”或“减1集”，并说明理由；(2)证明：不存在“减2集”；
(3)请写出所有的“减1集”.（无需说明理由）
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6 . 如果实数
，且满足
，则称x、y为“余弦相关”的.
(1)若
，请求出所有与之“余弦相关”的实数
；
(2)若两数、为“余弦相关”的，求证：
；
(3)若不相等的两数、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数
，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.
，且满足，则称x、y为“余弦相关”的.(1)若
，请求出所有与之“余弦相关”的实数；(2)若两数
、为“余弦相关”的，求证：；(3)若不相等的两数
、为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.
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2022-11-17更新
|
636次组卷
|
2卷引用：上海交通大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
7 . 已知对任意正整数n，都存在n次多项式函数
，使得
对一切
恒成立．例如“
，
”
(1)求
；
(2)求证：当n为偶数时，不存在函数
使得
对一切恒成立；
(3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数
使得
对一切恒成立，并求其最高次项系数．
，使得对一切恒成立．例如“，”(1)求
；(2)求证：当n为偶数时，不存在函数
使得对一切恒成立；(3)求证：当n为奇数时，存在多项式函数
使得对一切恒成立，并求其最高次项系数．
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8 . 已知无穷数列
的每一项均为正整数，且
，记的前
项和为
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的值；
(3)证明：数列中存在某一项（为正整数）满足
，并由此验证1或3是数列中的项．
的每一项均为正整数，且，记的前项和为．(1)若
，求的值；(2)若
，求的值；(3)证明：数列
中存在某一项（为正整数）满足，并由此验证1或3是数列中的项．
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解题方法
9 . 已知代数式
和
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
，证明：、中至少有一个数不小于
；
(3)若
，不等式
对任意实数恒成立，试确定实数
、
满足的条件．
和．(1)若
，求不等式的解集；(2)若
，证明：、中至少有一个数不小于；(3)若
，不等式对任意实数恒成立，试确定实数、满足的条件．
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10 . 已知数列，若存在
使得数列
是递减数列，则称数列是“型数列”.
(1)判断数列
，
是否为“
型数列”；
(2)若等比数列的通项公式为
（
），
，其前项和为，且
是“型数列”，求的值和
的取值范围；
(3)已知
，数列满足
，
（），若存在，使得是“型数列”，求
的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.
，若存在使得数列是递减数列，则称数列是“型数列”.(1)判断数列
，是否为“型数列”；(2)若等比数列
的通项公式为（），，其前项和为，且是“型数列”，求的值和的取值范围；(3)已知
，数列满足，（），若存在，使得是“型数列”，求的取值范围，并求出所有满足条件的（用表示）.
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