1 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

2 . 在数列中，，．
求，的值；
证明：①；
②．

3 . 将全体自然数填入如图所示的 3 行无穷列的表格，每格只填一个数字，不同格内的数字不同. 对于正整数、，如果存在满足上述条件的一种填法，使得对于任意，都有，，分别在表格的不同行，则称数对为自然数集的“友好数对”.

第1行					…
第2行					…
第3行					…

（Ⅰ）试判断数对与是否是的“友好数对”，并说明理由；
（Ⅱ）若，问：是否存在，使得数对是的“友好数对”？若存在，给出满足条件的一个的取值，并写出相应的表格填法，若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）试给出使得数对是的“友好数对”的一个充分条件.（结论不要求证明）

4 . 已知数列满足，且.
求证：；
令，且，试求无穷数列所有项的和；
对于，求证：

5 . 1，4，9，16……这些数可以用图1中的点阵表示，古希腊毕达哥拉斯学派将其称为正方形数，记第个数为.在图2的杨辉三角中，第行是展开式的二项式系数，，…，，记杨辉三角的前行所有数之和为.

（1）求和的通项公式；
（2）当时，比较与的大小，并加以证明.

6 . 已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,记,．
(1)若是等差数列,且,,求；
(2)若,,且对任意,,,成等差数列,求数列的通项公式；
(3)证明“对任意,,,成等比数列”的充分必要条件是“对任意的,数列,,…,成等比数列”．

7 . 若数列的前项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记.例如：当时，；当时，.
（1）求出；
（2）由的值归纳出的表达式，并用数学归纳法加以证明．

8 . 已知函数在处的切线的斜率为1．
(1)求的值及的最大值；
(2)用数学归纳法证明：

9 . 在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求数列与的通项公式；
（Ⅲ）设，证明

10 . 已知平面上一个圆可以将平面分成两个部分，两个圆最多可以将平面分成4个部分，设平面上个圆最多可以将平面分成个部分．
求，的值；
猜想的表达式并证明；
证明：．