1 . 定义圈数列X：，，，；X为一个非负整数数列，且规定的下一项为．为方便表示，记，，这样的相邻两项可以统一表示为，，，2，3，，n（的相邻两项为，，即，；的相邻两项为，，即，相当于数列摆在圈上）．称圈数列X做了一次P运算：选取一项，将圈数列X变为圈数列：，，，，，，即将减2，相邻两项各加1，其余项不变．并记下标k输出了一次．记X进行过i次P运算后数列为：，，，．（规定）
(1)若X：4，0，0，直接写出一组可能的，，，；
(2)若进行q次P运算后（），有，此时下标k输出的总次数为，，1，2，3，，记，，直接写出一组非负实数，，使得对任意，2，3，，n，都成立，并证明；
(3)若X：，0，0，，0，证明：存在M，当正整数时，中至少有一半的项非零．

2 . 已知数列满足，，则（       ）

A．	B．
C．	D．

3 . 记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

4 . 在数列中，，表示前n项和，且，，成等差数列，通过计算、、的值，猜想等于（       ）．

A．

B．

C．

D．

5 . 先猜想下列算式的和，并用数学归纳法证明：．

6 . 是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？猜测并用数学归纳法证明你的结论．

7 . 已知数列，满足，．
(1)求，，，的值；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；
(3)设，求数列的前n项和．

8 . 已知数列满足，其中是的前n项和，则，，，的值分别是______、______、______、______，由此推测出______．

9 . 已知，则______，______，______，______，猜想______．

10 . 已知数列中，，其中，且．从条件①与条件②，且中选择一个，结合上面的已知条件，完成下面的问题．
(1)求，，，并猜想的通项公式；
(2)证明（1）中的猜想．