1 . 已知是虚数，且是实数，求证：是纯虚数．

2 . 如果复数，，（其中，，i为虚数单位）．求证：．

3 . 已知非零复数，满足，求证：一定是负数．

4 . 利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为．
(1)设，，为虚数单位，求复向量、的模；
(2)设、是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立；
②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数．

5 . 现有以下三个式子：①；②；③（为虚数单位），某同学在解题时发现以上三个式子的值都等于同一个常数．
(1)从三个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明你的结论．

6 . 已知是虚数，是实数．
(1)求的值；
(2)设，求证：为纯虚数．

8 . 已知z是虚数，，求证：的充要条件是.

9 . 在复数范围内，证明，并由此写出-1的4个四次方根．

10 . 已知复数，，是虚数单位．
（1）求证；
（2）若为实数，求实数的值