1 . 已知数列中，，当时，，记．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，证明：．

2 . 已知正项数列满足，当时，，的前项和为.
(1)求数列的通项公式及；
(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：

3 . 已知数列满足，，令，设数列前n项和为．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
(3)设正项数列满足，求证：．

4 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．249

B．499

C．749

D．999

5 . 数列满足，.
(1)证明：；
(2)若数列满足，设数列的前n项和为，证明：.

7 . 已知数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，证明：．

8 . 已知数列满足，.
(1)求；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：

9 . 黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题．黎曼猜想研究的是无穷级数，我们经常从无穷级数的部分和入手．已知正项数列的前项和为，且满足，则______．（其中表示不超过的最大整数）

10 . 设、、是三角形的边长，求证.