1 . 矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为，A中第i行第j列的元素为（，2，3，…，m，，2，3，…，l），记一个l行n列的矩阵B为，我们定义一个双目运算符“”使得矩阵，那么有以下规则：
a.A的列数必须与B的行数相等.
b.C是一个m行n列的矩阵.
c.C中的元素.
d.若有n个相同的矩阵A相后得到一个新矩阵，可将其记作.
e.运算满足结合律，不满足交换律.
(1)求.
(2)数列满足：，其中.存在唯一的矩阵D使得（，）.
①求矩阵D，并用矩阵相的形式表示出矩阵（，）；
②用矩阵相的形式表示出矩阵（，）.

2 . 在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示．

(1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：．

3 . 已知数表，，，其中，，分别表示，，中第行第列的数．若，则称是，的生成数表．
(1)若数表，，且是，的生成数表，求；
(2)对，，
数表，，与满足第i行第j列的数对应相同（）.是，的生成数表，且．
（ⅰ）求，；
（ⅱ）若恒成立，求的最小值．

4 . 已知和数表，其中.若数表满足如下两个性质，则称数表由生成.
①任意中有三个，一个3；
②存在，使中恰有三个数相等.
(1)判断数表是否由生成；（结论无需证明）
(2)是否存在数表由生成？说明理由；
(3)若存在数表由生成，写出所有可能的值.

5 . 设为全体由和1构成的元数组的集合，其中为偶数．称与正交，若．记为可以从中选出元数组个数的最大值，满足选出的数组两两正交．求和的值．

7 . 如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点逆时针旋转角至点．

（1）试证明点的旋转坐标公式：
（2）设，点绕坐标原点逆时针旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值；
（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．