【推荐1】传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子来研究数．他们根据小石子所排列的形状把数分成许多类，如图（1）可得到三角形数1，3，6，10，…，图（2）可得到四边形数1，4，9，16，…，图（3）可得到五边形数1，5，12，22，…，图（4）可得到六边形数1，6，15，28，…．进一步可得，六边形数的通项公式______，前n项和______．

（参考公式：）

【推荐2】设数列满足，，且，若表示不超过的最大整数，则______.

【推荐3】已知数列满足，，则的最小值为_________.

【推荐1】数列的通项公式，若前项的和为10，则项数为__________．

【推荐2】在数列中，，，设，是数列的前项和，则__________．

【推荐3】已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，，则使得成立的n的最大值为______

【推荐1】下列各图是由一些火柴棒拼成的一系列图形，如第一个图中有4根火柴棒组成，第二个图中有7个火柴棒组成，第三个图中有10个火柴棒组成，按这种规律排列下去，那么在第51个图中的火柴棒有_________个

【推荐2】下面由火柴棒拼出的一列图形中，第个图形由个正方形组成. 通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是 ________．

【推荐3】瑞士数学家、物理学家欧拉发现任一凸多面体（即多面体内任意两点的连线都被完全包含在该多面体中，直观上讲是指没有凹陷或孔洞的多面体）的顶点数、棱数及面数满足等式，这个等式称为欧拉多面体公式，被认为是数学领域最漂亮、简洁的公式之一，现实生活中存在很多奇妙的几何体，现代足球的外观即取自一种不完全正多面体，共有32个面，是由块白色正六边形面料和块黑色正五边形面料构成的.则的值为______.