【推荐1】数列满足是常数．
(1)当时，求及的值；
(2)数列是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由；
(3)求的取值范围，使得存在正整数m，当时总有．

【推荐2】已知数列满足，是否存在等差数列，使得对一切自然数恒成立？

【推荐3】一计算装置有一数据入口A和运算结果的出口B，将正整数列中的各数依次输入A口，从B口得到数列．结果表明：①从A口输入时，从B口得到．②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以正整数列中的第个奇数，再除以正整数列中的第个奇数．
(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？
(2)猜测并证明当入口A输入正整数列时，从B口得到数列的通项公式．
(3)为了满足计算需要，工程师对装置进行了改造，使B口出来的数据依次进入口进行调整，结果为一列数据．若使，问非零常数、满足什么关系式，才能使口所得数列为等差数列？

【推荐1】若存在常数、、，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数、、分别叫做段长、段比、段差. 设数列为“段比差数列”.
(1)若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、、3.
①当时，求；
②当时，设的前项和为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(2)设为等比数列，且首项为，试写出所有满足条件的，并说明理由.

【推荐2】若项数为且的有穷数列满足：，则称数列具有“性质”．
(1)判断下列数列是否具有“性质”，并说明理由；
①1，2，4，3；②2，4，8，16．
(2)设，2，，，若数列具有“性质”，且各项互不相同．求证：“数列为等差数列”的充要条件是“数列为常数列”；
(3)已知数列具有“性质”．若存在数列，使得数列是连续个正整数1，2，，的一个排列，且，求的所有可能的值．