【推荐1】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，椭圆的右顶点与上顶点之间的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过定点且斜率为的直线交椭圆于不同的两点，在线段上取异于的点H，满足，证明：点恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.

【推荐2】已知椭圆：经过点，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设为原点，直线：与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，问：是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．

【推荐3】一束光线从点出发，经过直线上的一点反射后，经过点.
（1）求以为焦点且经过点的椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，以为邻边作平行四边形,求对角线长度的取值范围.

【推荐1】已知圆，圆，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.

【推荐2】“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
   
步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系.
(1)若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
(2)记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知圆和定点，其中点是该圆的圆心，是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，设动点的轨迹为．
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设曲线与轴交于两点，点是曲线上异于的任意一点，记直线，的斜率分别为，．证明：是定值；
（3）设点是曲线上另一个异于的点，且直线与的斜率满足，试探究：直线是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由．