党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.
现用两种模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值：
表中
．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据
其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
现用两种模型①
，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值： |  |  |  |  |  |
| 75 | 2.25 | 82.5 | 4.5 | 120 | 28.67 |
．(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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更新时间：2023-05-21 21:46:53
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【推荐1】配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每千米所需要的时间.相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略.2022北京马拉松于2022年11月6日举行，已知图①是本次北京马拉松比赛中某位跑者的心率y（单位：次/分钟）和配速x（单位：分钟/千米）的散点图，图②是本次马拉松比赛（全程约42千米）前3000名跑者成绩（单位：分钟）的频率分布直方图.
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间及他能获得的名次.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数，
，
.参考数据：
.
(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)在本次比赛中，该跑者如果将心率控制在160（单位：次/分钟）左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间及他能获得的名次.
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数，，.参考数据：.
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解题方法
【推荐2】汽车
店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品牌汽车店为了了解
，
，
三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示1.
表1
(1)某公司一次性从店购买该品牌，，型汽车各一辆,记
表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).
(2)该品牌汽车店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表2.
预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从
的关系,且该产品的成本是500元/件,为使店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多少元？
表1
表2
店是一种以“四位一体”为核心的特许经营模式，包括整车销售、零配件销售、售后服务、信息反馈等．某品牌汽车店为了了解，，三种类型汽车质量问题,对售出的三种类型汽车各取100辆进行跟踪服务,发现各车型一年内需要维修的车辆如下表所示1.表1
(1)某公司一次性从
店购买该品牌，，型汽车各一辆,记表示这三辆车的一年内需要维修的车辆数，求的分布列及数学期望.(各型汽车维修的频率视为其需要维修的概率).(2)该品牌汽车
店为了对厂家新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按使事先拟定的各种价格进行试销相等时间，得到数据如表2.预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从
的关系,且该产品的成本是500元/件,为使店获得最大利润(利润=销售收入-成本)，该产品的单价应定位多少元？表1
| 车型 | | | |
| 频数 | 20 | 20 | 40 |
单价 (元) | 800 | 820 | 840 | 860 | 880 | 900 |
销量 (件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐3】学校食堂统计了最近
天到餐厅就餐的人数（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量（袋），得到如下统计表：
（1）根据所给的组数据，求出关于的线性回归方程
；
（2）已知购买食材的费用（元）与数量（袋）的关系为
，投入使用的每袋食材相应的销售单价为 
元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有
人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）
参考公式：
，
参考数据：
， 
，
天到餐厅就餐的人数（百人）与食堂向食材公司购买所需食材（原材料）的数量（袋），得到如下统计表：第一天 | 第二天 | 第三天 | 第四天 | 第五天 | |
就餐人数 | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
组数据，求出关于的线性回归方程；（2）已知购买食材的费用
（元）与数量（袋）的关系为，投入使用的每袋食材相应的销售单价为 元，多余的食材必须无偿退还食材公司，据悉下周一大约有人到食堂餐厅就餐，根据（1）中求出的线性回归方程，预测食堂应购买多少袋食材，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L =销售收入-原材料费用）参考公式：
， 参考数据：
， ，
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解答题-应用题
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(0.65)
解题方法
【推荐1】某手机企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，统计了近10年投入的年研发费用千万元与年销售量千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令
，得到相关统计量的值如表：
（1）利用散点图判断和
哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；
（2）已知企业年利润千万元与
的关系式为
（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：线性回归方程中，
，
.
千万元与年销售量千万件的数据，得到散点如图，对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如表： |  |  |  |
| 30.5 | 15 | 15 | 46.5 |
和哪一个更适合作为年研发费用和年销售量的回归类型（不必说明理由），并根据数据，求出与的回归方程；（2）已知企业年利润千万元与
的关系式为（其中为自然对数的底数），根据（1）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：线性回归方程
中，，.
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐2】某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：
根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型
和指数函数模型
分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为
，
与x的相关系数
.
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布
，用样本平均数
作为
的估计值
，用样本标准差s作为
的估计值
，若非原料成本y在
之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？
参考数据（其中
）：
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，，相关系数
.
（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| y | 56.5 | 31 | 22.75 | 17.8 | 15.95 | 14.5 | 13 | 12.5 |
和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.
(2)用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本；
(3)根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布
，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中
）： |  |  |  |  |  |  |  |
| 0.34 | 0.115 | 1.53 | 184 | 5777.555 | 93.06 | 30.705 | 13.9 |
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.
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解答题-作图题
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解题方法
【推荐3】为了研究某种细菌随天数变化的繁殖个数，收集数据如下：
(1)在图中作出繁殖个数关于天数变化的散点图，并由散点图判断
（
为常数）与
（
为常数，且
）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)对于非线性回归方程（为常数，且），令
，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值．
（ⅰ）证明：“对于非线性 回归方程，令，可以得到繁殖个数的对数
关于天数具有线性 关系（即
为常数）”；
（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程（系数保留2位小数）．
附：对于一组数据
，其回归直线方程
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
变化的繁殖个数，收集数据如下：| 天数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 繁殖个数 | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
(1)在图中作出繁殖个数
关于天数变化的散点图，并由散点图判断（为常数）与（为常数，且）哪一个适宜作为繁殖个数关于天数变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程
（为常数，且），令，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值． | |  |  |  |  |
| 3.50 | 62.83 | 3.53 | 17.50 | 596.57 | 12.09 |
，令，可以得到繁殖个数的对数关于天数具有为常数）”；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据
，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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解答题-问答题
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解题方法
【推荐1】身高体重指数(BMI)的大小直接关系到人的健康状况，某高中高三(1)班班主任为了解该班学生的身体健康状况，从该班学生中随机选取5名学生，测量其身高、体重的数据如下表.
(1)求体重关于身高的线性回归方程，并预测身高为180cm的同学的体重；
(2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程中，
，，其中
，为样本平均值，
.
学生编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
身高x/cm | l65 | 170 | 175 | 170 | 170 |
体重y/kg | 58 | 67 | 67 | 65 | 63 |
(2)试分析学生的体重差异约有多少是由身高引起的？(注:结果保留两位小数)参考公式:线性回归方程
中，，，其中，为样本平均值，.
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解答题-应用题
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解题方法
【推荐2】在政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力
某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
，如表所示：
(1)若变量，具有线性相关关系，求产品销量
百件
关于试销单价
千元的线性回归方程；
(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与
对应的产品销量的估计值
当销售数据
对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”现从
个销售数据中任取
个，求“好数据”至少有
个的概率．
参考数据：
参考公式：线性回归方程中
，
的估计值分别为
，
某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：单价 |
|
|
|
|
|
|
销量 |
|
|
|
|
|
|
千元
，具有线性相关关系，求产品销量百件关于试销单价千元的线性回归方程；(2)用（1）中所求的线性回归方程得到与
对应的产品销量的估计值当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”现从个销售数据中任取个，求“好数据”至少有个的概率．参考数据：
参考公式：线性回归方程中，的估计值分别为，
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解答题-应用题
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【推荐3】某共享单车企业在城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：
根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：
模型甲：
，模型乙：
.
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：
，
称为相应于点的残差）；
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及
，并通过比较
的大小，判断哪个模型拟合效果更好.
（2）这家企业在4城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润
收入
成本）
城市就“一天中一辆单车的平均成本与租用单车数量之间的关系”进行了调查，并将相关数据统计如下表：根据以上数据，研究人员设计了两种不同的回归分析模型，得到两个拟合函数：
模型甲：
，模型乙：.（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：
①完成下表（计算结果精确到0.1元）（备注：
，称为相应于点的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和
及，并通过比较的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（2）这家企业在4城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎并供不应求，于是该企业决定增加单车投放量.根据市场调查，市场投放量达到1万辆时，平均每辆单车一天能收入7.2元；市场投放量达到1.2万辆时，平均每辆单车一天能收入6.8元.若按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，问该企业投放量选择1万辆还是1.2万辆能获得更多利润？请说明理由.（利润
收入成本）
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名校
解题方法
【推荐1】某企业为了了解年广告费x（单位：万元）对年销售额y（单位：万元）的影响，统计了近7年的年广告费和年销售额
的数据，得到下面的表格：
由表中数据，可判定变量x，y的线性相关关系较强.
(1)建立y关于x的线性回归方程；
(2)已知该企业的年利润z与x，y的关系为
，根据（1）的结果，年广告费x约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？
附：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：
，
.
和年销售额的数据，得到下面的表格：| 年广告费 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 年销售额 | 25 | 41 | 50 | 58 | 64 | 78 | 89 |
(1)建立y关于x的线性回归方程；
(2)已知该企业的年利润z与x，y的关系为
，根据（1）的结果，年广告费x约为何值时（小数点后保留一位），年利润的预报值最大？附：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：，.
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解答题-问答题
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适中
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名校
解题方法
【推荐2】某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．
(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程
，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；
(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：
依据小概率值
的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．
附：参考公式：
，
，其中
．
独立性检验临界值表：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
不“礼让行人” | 33 | 36 | 40 | 39 | 45 | 53 |
与月份之间的经验回归方程，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数（精确到整数）；(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：
不“礼让行人” | 礼让行人 | |
驾龄不超过3年 | 18 | 42 |
驾龄3年以上 | 4 | 36 |
的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年有关?并说明理由．附：参考公式：
，，其中．独立性检验临界值表：
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】某网络购物平台专营店统计了某年2月15日至19日这5天在该店购物的人数（单位：人）的数据如下表：
(1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；
(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的
列联表：
将列联表补充完整，并依据表中数据及小概率值
的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
（单位：人）的数据如下表：日期 | 2月15日 | 2月16日 | 2月17日 | 2月18日 | 2月19日 |
日期代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
购物人数 | 77 | 84 | 93 | 96 | 100 |
关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年2月21日在该店购物的人数（人数用四舍五入法取整数）；(2)为了了解参加网购人群的年龄分布，该店随机抽取了200人进行问卷调查.得到如下所示不完整的
列联表：| 年龄 | 不低于40岁 | 低于40岁 | 合计 |
参与过网上购物 | 30 | 150 | |
未参与过网上购物 | 30 | ||
合计 | 200 |
的独立性检验，能否认为“参与网上购物”与“年龄”有关.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
 | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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