【推荐1】设数列满足.求证：.

【推荐2】在数列中，，其中，．
(1)当时，求，，的值．
(2)是否存在实物，使，，构成公差不为的等差数列？证明你的结论．
(3)当时，证明：存在，使得．

【推荐3】设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．

【推荐1】设数列{a_n}的前n项和为S_n.若，则称{a_n}是“紧密数列”.
（1）若数列{a_n}的前n项和，证明：{a_n}是“紧密数列”；
（2）设数列{a_n}是公比为q的等比数列.若数列{a_n}与{S_n}都是“紧密数列”，求q的取值范围.

【推荐3】若一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“阿当数列”．
（1）若数列为“阿当数列”，且，，，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为1的等差数列为“阿当数列”，且其前n项和满足？请证明你的结论；
（3）已知等比数列的每一项均为正整数，且为“阿当数列”，，，当数列不是“阿当数列”时，试判断数列是否为“阿当数列”，并说明理由．