某品牌中性笔研发部门从流水线上随机抽取100件产品，统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）
产品的性能指数在
的适合儿童使用（简称A类产品），在
的适合少年使用（简称B类产品），在
的适合青年使用（简称C类产品），
三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
(1)该公司为了解年营销费用
（单位：万元）对年销售量
（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用
和年销售量
的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
表中
．
根据散点图判断，
可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取
）
(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
产品的性能指数在
的适合儿童使用（简称A类产品），在的适合少年使用（简称B类产品），在的适合青年使用（简称C类产品），三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．(1)该公司为了解年营销费用
（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量的数据做了初步处理，得到散点图（如图2）及一些统计量的值（如下表）．
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16.30 | 24.87 | 0.41 | 1.64 |
．根据散点图判断，
可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程，求关于的回归方程；（取）(2)求每件产品的平均销售利润；并用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用）
参考公式：对于一组数据
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
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更新时间：2023-05-29 12:08:25
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【推荐1】某公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持"创新驱动，质量为先､绿色发展､结构优化，人才为本”的基本方针，准备加大研发投资.市场部对同类产品连续5个月的销售单价和月销售量的数据进行了统计.得如下统计表：
统计时，不慎将
处的数据丢失，但记得
，且月销售量的平均数与中位数相等.
(1)建立关于的线性回归方程；
(2)根据（1）的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价（其中
）为何值时，公司月利润的预测值最大？
回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式：
，
.
和月销售量的数据进行了统计.得如下统计表：| 月销售单价/（元/件） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
月销售址 /万件 | 28 | 23 | | 15 | 10 |
处的数据丢失，但记得，且月销售量的平均数与中位数相等.(1)建立
关于的线性回归方程；(2)根据（1）的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价
（其中）为何值时，公司月利润的预测值最大？回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式：，.
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适中
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【推荐2】已知某校高二年级共有600名男生，从中随机选取6名，其身高和体重如下表所示：
(1)经分析，x与y之间存在较强的线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
(2)判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了．以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望．
参考公式：
．
| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
身高 | 164 | 166 | 168 | 170 | 172 | 174 |
体重 | 58 | 60 | 62 | 64 | 67 | 73 |
(2)判断高中男生的体重是否超标有一种简易方法，就是记身高的厘米数减去105所得差值为参考体重，一个人实际体重超过了参考体重，我们就说该人体重超标了．以频率估计概率，从该校高二年级男生中任选3人，记其中体重超标的人数为X，求X的概率分布与数学期望．
参考公式：
．
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【推荐3】随着移动网络的飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等APP软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表：
（1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y与年份代码x的关系满足经验关系式：
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设
，利用
与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；
（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有
的概率享受9折优惠，有
的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.
（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为
相关数据：
(其中
.
| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| 年份代码x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 使用扫码支付的人次y(单位：万人) | 5 | 12 | 16 | 19 | 21 |
，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性.设，利用与x的相关性及表格中的数据求出y与x之间的回归方程，并估计2021年该商场使用扫码支付的人次；（2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200元可参加1次抽奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3个，黑球有5个)，顾客从抽奖箱中一次性摸出3个球，若摸到3个红球，则打7折；若摸出2个红球则打8折，其他情况不打折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有
的概率享受8折优惠，有的概率享受9折优惠，有的概率享受立减10元优惠.若小张在活动期间恰好购买了总价为200元的商品.（i）求小张选择方案一付款时实际付款额X的分布列与数学期望；
（ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？
附：最小二乘法估计公式：经过点
的回归直线为相关数据：(其中.
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【推荐1】某花店每天以每枝5元价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量
（单位：枝，
）的函数解析式.
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，
表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进17枝或18枝玫瑰花，你认为应购进17枝还是18枝？请说明理由.
（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润
（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 15 | 20 | 20 | 18 | 16 | 11 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进17枝玫瑰花，
表示当天的利润（单位：元），求的分布列，数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进17枝或18枝玫瑰花，你认为应购进17枝还是18枝？请说明理由.
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【推荐2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有
个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
.
（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数
的分布列和均值；
（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数
的分布列；
（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数
的分布列和均值；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数
的分布列；（3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
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解题方法
【推荐3】某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，售价为20元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下．
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望．
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
个数 | 10 | 30 | 40 | 20 |
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，售价为20元/kg；
方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下．
等级 | 标准果 | 优质果 | 精品果 | 礼品果 |
售价（元/ | 16 | 18 | 22 | 24 |
）(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望．
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名校
【推荐1】冠状病毒是一个大型病毒家族，已知的有中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重的疾病，新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，某小区为进一步做好新型冠状病毒肺炎疫情知识的教育，在小区内开展“新型冠状病毒防疫安全公益课”在线学习，在此之后组织了“新型冠状病毒防疫安全知识竞赛”在线活动．已知进入决赛的分别是甲、乙、丙、丁四位业主，决赛后四位业主相应的名次为第1，2，3，4名，该小区为了提高业主们的参与度和重视度，邀请小区内的所有业主在比赛结束前对四位业主的名次进行预测，若预测完全正确将会获得礼品，现用a，b，c，d表示某业主对甲、乙、丙、丁四位业主的名次做出一种等可能的预测排列，记X＝|a﹣1|+|b﹣2|+|c﹣3|+|d﹣4|．
（1）求该业主获得礼品的概率；
（2）求X的分布列及数学期望．
（1）求该业主获得礼品的概率；
（2）求X的分布列及数学期望．
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】某面包推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得下表：
（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；
（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为（单位：元）.
（ⅰ）若日需求量为15个，求；
（ⅱ）求的分布列及其数学期望.
相关公式：
， 
（1）根据表中数据可知，频数
与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程；（2）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，若该店这款新面包出炉的个数为24，记当日这款新面包获得的总利润为
（单位：元）.（ⅰ）若日需求量为15个，求
；（ⅱ）求
的分布列及其数学期望.相关公式：
，
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(0.65)
【推荐3】我国综合性太阳探测专用卫星“夸父一号”最新一批科学图像于2022年12月13日在京发布，其中多幅图像质量达到国际领先水平，验证了“夸父一号”三台有效载荷的观测能力和先进性，“夸父一号”是中国科学院空间科学二期先导专项研制的一颗空间科学卫星，于2022年10月9日成功发射，卫星以“一磁两暴”为科学目标，即同时观测太阳磁场和太阳上两类最剧烈的爆发现象——耀斑和日冕物质抛射，研究它们的形成、演化、相互作用和彼此关联，同时为空间天气预报提供支持、某学校为了解该校某兴趣小组对“夸父一号”探测卫星相关知识是否感兴趣，对该兴趣小组的100位学生进行了问卷调查，已知被调查学生中男生占调查人数的55%，其中感兴趣的有40人，余下的不感兴趣，在被调查的女生中，感兴趣的有20人，其余人不感兴趣.
(1)请补充完整
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？
(2)从兴趣小组100人中任选1人，
表示事件“选到的人是男生”，
表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求
；
(3)按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.
附：参考公式：
，其中
.
临界值表：
(1)请补充完整
列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为对“夸父一号”探测卫星相关知识感兴趣与学生的性别有关联？| 感兴趣 | 不感兴趣 | 合计 | |
| 男生 | |||
| 女生 | |||
| 合计 |
表示事件“选到的人是男生”，表示事件“选到的人对“夸父一号”探测卫星相关知识不感兴趣”，求；(3)按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法从感兴趣的学生中抽取容量为6的样本，再从抽取的6人中随机抽取2人，随机变量
表示2人中女生的人数，求的分布列和数学期望.附：参考公式：
，其中.临界值表：
 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.01 | 0.005 |
 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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