近日埃隆·马斯克旗下的脑机接口公司官宣，已经获得批准启动首次人体临床试验，我国脑机接口技术起步晚，发展迅猛，2014年，浙江大学团队在人脑内植入皮层脑电微电极，实现“意念”控制机械手完成高难度的"石头、剪刀、布”手指运动，创造了当时的国内第一，达到国际同等水平，目前，较为主流的分类方式将脑机接口分为侵入式和非侵入式，侵入式由于需要道德伦理审查，目前无法大面积实验，大多数研究公司采用非侵入式，即通过外部头罩和脑电波影响大脑，主要应用于医疗行业，如戒烟未来10到20年，我国脑机接口产业将产生数百亿元的经济价值．为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量
（单位：亿元）与研发人员增量
（人）的10组数据．现用模型①
，②
分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
.
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）
附：对于一组具有线性相关关系的数据
，其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图．
.
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7.5 | 2.25 | 82.50 | 4.50 | 12.14 | 2.88 |
(1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由）
(2)根据（1）中所选模型，求出
关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1）附：对于一组具有线性相关关系的数据
，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为．
更新时间：2024-05-23 22:49:55
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解答题-应用题
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(0.65)
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【推荐1】根据海关总署发布的2020年上半年中国外贸进出口数据显示，中国外贸进出口好于预期，6月份出口､进口双双实现正增长，上半年，民营企业进出口逆势增长，一般贸易进出口比重提升.某公司抓住机遇，不断加大科技攻关投入，提升产品质量，据统计该公司
，
两类产品2020年1~6月份的盈利情况如表：
（1）从统计的这6个月份中任取3个月份，求产品盈利高于产品盈利的月份数
的分布列及数学期望；
（2）已知可用线性回归模型拟合两类产品的盈利之和(单位：万元)与月份代码之间的关系，试求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和.
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，
.
，两类产品2020年1~6月份的盈利情况如表：| 月份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ||||||
| 产品类型 | | | | | | | | | | | | |
| 盈利/万元 | 60 | 50 | 60 | 70 | 85 | 75 | 80 | 70 | 90 | 110 | 110 | 100 |
产品盈利高于产品盈利的月份数的分布列及数学期望；（2）已知可用线性回归模型拟合两类产品的盈利之和
(单位：万元)与月份代码之间的关系，试求关于的线性回归方程，并预测该公司2020年11月份两类产品的盈利之和.参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
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解题方法
【推荐2】现代物流成为继劳动力、自然资源外影响企业生产成本及利润的重要因素．某企业去年前八个月的物流成本和企业利润的数据（单位：万元）如下表所示：
根据最小二乘法公式求得线性回归方程为
．
（1）求
的值，并利用已知的线性回归方程求出
月份对应的残差值
；
（2）请先求出线性回归模型的决定系数
（精确到
）；若根据非线性模型
求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数
，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？
（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为
万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．
附1（修正前的参考数据）：
，
，
，
．
附2：
．
附3：
，．
月份 |
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物流成本 |
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利润 |
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残差 |
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．（1）求
的值，并利用已知的线性回归方程求出月份对应的残差值；（2）请先求出线性回归模型
的决定系数（精确到）；若根据非线性模型求得解释变量（物流成本）对于响应变量（利润）决定系数，请说明以上两种模型哪种模型拟合效果更好？（3）通过残差分析，怀疑残差绝对值最大的那组数据有误，经再次核实后发现其真正利润应该为
万元．请重新根据最小二乘法的思想与公式，求出新的线性回归方程．附1（修正前的参考数据）：
，，，．附2：
．附3：
，．
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【推荐3】随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族.某研究人员对该地区18岁至50岁的5000名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示：
(1)以频率估计概率，若在该地区任取
位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况
在
到
之间，求的期望
；
(2)求被抽查的居民使用流量的平均值；
(3)经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：
试建立关于的的回归方程.
附注：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
(1)以频率估计概率，若在该地区任取
位居民，其中恰有位居民的月流量的使用情况在
到 之间，求的期望；(2)求被抽查的居民使用流量的平均值；
(3)经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况
与其日销售份数成线性相关关系，该研究人员将流量套餐的打折情况与其日销售份数的结果统计如下表所示：折扣 | 1折 | 2折 | 3折 | 4折 | 5折 |
销售份数 | 50 | 85 | 115 | 140 | 160 |
试建立
关于的的回归方程.附注：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
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【推荐1】某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：
根据以上数据，绘制了散点图．
(1)根据散点图判断，在推广期内，
与
（
，
均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)若关于的回归方程不是线性的可通过换元方法把它化归为线性回归方程．例如：
（
为常数，
为自然对数的底数），可以两边同时取自然对数
，再令
，先用最小二乘法求出
与的线性回归方程，再得出与的回归方程．根据（1）的判断结果及表格提供的数据，求关于的回归方程；
(3)由（2）中的回归方程预测活动推出第
天使用扫码支付的人次．
参考数据：
其中
，参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
．
表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表所示：
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
(1)根据散点图判断，在推广期内，
与（，均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次关于活动推出天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；(2)若
关于的回归方程不是线性的可通过换元方法把它化归为线性回归方程．例如：（为常数，为自然对数的底数），可以两边同时取自然对数，再令，先用最小二乘法求出与的线性回归方程，再得出与的回归方程．根据（1）的判断结果及表格提供的数据，求关于的回归方程；(3)由（2）中的回归方程预测活动推出第
天使用扫码支付的人次．参考数据：
|
|
|
|
|
66 | 1.54 | 2711 | 50.12 | 3.47 |
，参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
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【推荐2】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据如下表：
(1)根据散点图判断，
与
哪一个适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
(3)红铃虫是棉区危害较重的害虫，可从农业、物理和化学三个方面进行防治，其中农业方面防治有3种方法，物理方面防治有1种方法，化学方面防治3种方法，现从7种方法中选3种方法进行综合防治（即3种方法不能全部来自同一方面，至少来自两个方面），X表示在综合防治中农业方面的防治方法的种数，求X的分布列及数学期望E(X)．
附：可能用到的公式及数据表中（表中
，
，
，
）
对于一组数据
,
，……，
,其回归线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
| 温度x/℃ | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 32 | 35 |
| 产卵个数y/个 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 115 | 325 |
与哪一个适宜作为产卵数关于温度的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立
关于的回归方程；(3)红铃虫是棉区危害较重的害虫，可从农业、物理和化学三个方面进行防治，其中农业方面防治有3种方法，物理方面防治有1种方法，化学方面防治3种方法，现从7种方法中选3种方法进行综合防治（即3种方法不能全部来自同一方面，至少来自两个方面），X表示在综合防治中农业方面的防治方法的种数，求X的分布列及数学期望E(X)．
附：可能用到的公式及数据表中（表中
，，，） |  |  |  |  |  |  |
| 27.430 | 3.612 | 81.290 | 147.700 | 2763.764 | 705.592 | 40.180 |
,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，
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解题方法
【推荐3】三年疫情对我们的学习生活以及各个行业都产生了影响，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，公司旗下的某个楼盘统一推出了为期7天的优惠活动．负责人用表格记录了推出活动以后每天售楼部到访客户的人次，表格中x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，根据表格绘制了以下散点图．
表中
，
．与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得
最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．
附：对于样本
（
，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
．
x（天） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y（人次） | 12 | 22 | 42 | 68 | 132 | 202 | 392 |
|
|
|
|
|
|
|
4.24 | 870 | 5070 | 134.82 | 140 | 6.96 | 1.78 |
，．
与（a，b，c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（ii）根据（i）的判断结果以及表中的数据，求y关于x的回归方程．
(2)此楼盘共有N套房，其中200套特价房，活动期间共卖出300套房，其中50套特价房，试给出N的估计值（以使得
最大的N的值作为N的估计值，X表示卖出的300套房中特价房的数目）．附：对于样本
（，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．
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【推荐1】2020年是我国全面建成小康社会和“十三五”规划收官之年，也是佛山在经济总量超万亿元新起点上开启发展新征程的重要历史节点.作为制造业城市，佛山一直坚持把创新摆在制造业发展全局的前置位置和核心位置，聚焦打造成为面向全球的国家制造业创新中心，走“世界科技+佛山智造+全球市场”的创新发展之路.在推动制造业高质量发展的大环境下，佛山市某工厂统筹各类资源，进行了积极的改革探索.下表是该工厂每月生产的一种核心产品的产量
（件）与相应的生产总成本（万元）的四组对照数据.
工厂研究人员建立了与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：
模型①：
；
模型②：
.
其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为关于的回归方程？并说明理由；
（2）市场前景风云变幻，研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下：
若以这20个月销售单价的平均值定为今后的销售单价（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），结合你对（1）的判断，当月产量为12件时，预测当月的利润.
（件）与相应的生产总成本（万元）的四组对照数据.
| 5 | 7 | 9 | 11 |
| 200 | 298 | 431 | 609 |
与的两种回归模型，利用计算机算得近似结果如下：模型①：
；模型②：
.其中模型①的残差（实际值-预报值）图如图所示：
（1）根据残差分析，判断哪一个更适宜作为
关于的回归方程？并说明理由；（2）市场前景风云变幻，研究人员统计了20个月的产品销售单价，得到频数分布表如下：
销售单价分组（万元） |
|
|
|
频数 | 10 | 6 | 4 |
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解题方法
【推荐2】下表提供了甲产品的产量（吨）与利润（万元）的几组对照数据．
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
（2）计算相关指数的值，并判断线性模型拟合的效果．
参考公式：
，
（吨）与利润（万元）的几组对照数据． | |  |  |  |
|  | | |  |
关于的线性回归方程；（2）计算相关指数
的值，并判断线性模型拟合的效果．参考公式：
，
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解题方法
【推荐3】党的二十大报告提出，从现在起，中国共产党的中心任务就是团结带领全国各族人民全面建成社会主义现代化强国、实现第二个百年奋斗目标，以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴.高质量发展是全面建设社会主义现代化国家的首要任务.加快实现高水平科技自立自强，才能为高质量发展注入强大动能.某科技公司积极响应，加大高科技研发投入，现对近十年来高科技研发投入情况分析调研，其研发投入y（单位：亿元）的统计图如图1所示，其中年份代码x=1，2，…，10分别指2013年，2014年，…，2022年.
现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值：
表中．
(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
现用两种模型①
，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下值： |  |  |  |  |  |
| 75 | 2.25 | 82.5 | 4.5 | 120 | 28.67 |
．(1)根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；
(2)根据（1）中所选模型，求出y关于x的回归方程；根据所选模型，求该公司2028年高科技研发投入y的预报值．（回归系数精确到0.01）
附：对于一组数据
其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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解题方法
【推荐1】为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中
）．
(1)利用相关系数的知识，判断与
哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型；
(2)根据（1）的结果建立关于的回归方程，并估计样本对原点的距离
米时，平均金属含量是多少？
（单位：克每立方米）与样本对原点的距离（单位：米）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值．（表中）． | |  |  |  |  |  |  |
| 6 | 97.90 | 0.21 | 240 | 0.14 | 14.12 | 26.13 |  |
与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型；(2)根据（1）的结果建立
关于的回归方程，并估计样本对原点的距离米时，平均金属含量是多少？
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解题方法
【推荐2】某公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持"创新驱动，质量为先､绿色发展､结构优化，人才为本”的基本方针，准备加大研发投资.市场部对同类产品连续5个月的销售单价
和月销售量
的数据进行了统计.得如下统计表：
统计时，不慎将处的数据丢失，但记得
，且月销售量的平均数与中位数相等.
(1)建立关于的线性回归方程；
(2)根据（1）的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价（其中
）为何值时，公司月利润的预测值最大？
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式：
，.
和月销售量的数据进行了统计.得如下统计表：| 月销售单价/（元/件） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
月销售址 /万件 | 28 | 23 | | 15 | 10 |
处的数据丢失，但记得，且月销售量的平均数与中位数相等.(1)建立
关于的线性回归方程；(2)根据（1）的结果，若该产品成本是0.5元/件，月销售单价
（其中）为何值时，公司月利润的预测值最大？回归方程
中斜率和截距的最小二乘法估计公式：，.
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【推荐3】为了保存学习资料，某位老师注册了网盘账号，根据平时存储资料的情况，得到了存储文件个数与占用网盘空间（单位：GB）的数据如下：
(1)若与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数分别为
，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过
的概率．
参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
与占用网盘空间（单位：GB）的数据如下：| 存储文件个数 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 占用网盘空间 | 1.5 | 2.5 | 4 | 6 | 8.5 |
与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)该老师使用该网盘保存资料的6个月中，会根据需要适当删除或增加文件，若6个月网盘中的文件个数分别为
，根据（1）的结论，从这6个月中任选2个月，试估计这2个月中至少有一个月占用网盘空间超过的概率．参考公式：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
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