为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间的关系,下表记录了小李某月连续5天每天打篮球时间(单位:小时)与当天投篮命中率之间的关系:
(Ⅰ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出投篮命中率与打篮球时间(单位:小时)之间的回归直线方程;
(Ⅱ)如果小李某天打了2.5小时篮球,预测小李当天的投篮命中率.
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)
时间 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
命中率 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 0.6 | 0.4 |
(Ⅱ)如果小李某天打了2.5小时篮球,预测小李当天的投篮命中率.
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)
更新时间:2016-12-04 19:57:16
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【推荐1】某研究性学习小组对某花卉种子的发芽率与昼夜温差之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的昼夜温差及每天30颗种子的发芽率,并得到如下资料:
参考数据:,,其中,.
(1)请根据3月1日至3月5日的数据,求出关于的线性回归方程,据气象预报3月6日的昼夜温差为11度,请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.(结果保留整数)
(2)从3月1日至3月5日中任选两天,记种子发芽数超过15颗的天数为,求的概率分布列,并求其数学期望和方差.
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差(度) | 10 | 11 | 13 | 12 | 9 |
发芽数(颗) | 15 | 16 | 17 | 14 | 13 |
(1)请根据3月1日至3月5日的数据,求出关于的线性回归方程,据气象预报3月6日的昼夜温差为11度,请预测3月6日浸泡的30颗种子的发芽数.(结果保留整数)
(2)从3月1日至3月5日中任选两天,记种子发芽数超过15颗的天数为,求的概率分布列,并求其数学期望和方差.
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【推荐2】我国自2016年实行全面二孩政策后,出生人口迎来了一个小高峰,但随后几年出生人口逐年下降,2022年的出生人口数首次低于1000万,低出生率与老龄化逐渐成为社会性问题.近几年我国人口出生数据如下表:
(1)对以上数据进行回归分析可知,y与x线性相关性强,求y关于x的线性回归方程;(精确到0.1)
(2)用所求线性回归方程预测从哪一年起,我国出生人口低于600万.并回答用该线性回归方程作为分析我国出生人口的数学模型是否合理,并说明理由.
附:对于一组组数据,,…,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
参考数据:,,.
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 | 2021 | 2022 |
序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
出生人数(万人) | 1786 | 1723 | 1523 | 1465 | 1202 | 1062 | 956 |
(2)用所求线性回归方程预测从哪一年起,我国出生人口低于600万.并回答用该线性回归方程作为分析我国出生人口的数学模型是否合理,并说明理由.
附:对于一组组数据,,…,,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.
参考数据:,,.
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【推荐3】只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
其中
(1)根据散点图判断,与(e为自然对数的底数)哪一个更适宜作为红铃虫的产卵数y和温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)根据(2)的结果,当温度为37度时红铃虫的产卵数y的预报值是多少?
参考公式:对于一组数据,,…,,其线性回归方程的系数的最小二乘法估计值为,
参考数据:,,
27 | 81 | 3.6 | 152 | 2936 | 38 |
其中
(1)根据散点图判断,与(e为自然对数的底数)哪一个更适宜作为红铃虫的产卵数y和温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;
(3)根据(2)的结果,当温度为37度时红铃虫的产卵数y的预报值是多少?
参考公式:对于一组数据,,…,,其线性回归方程的系数的最小二乘法估计值为,
参考数据:,,
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解题方法
【推荐1】某城市的公交公司为了方便市民出行,科学规划车辆投放,在一个人员密集流动地段增设一个起点站,为了研究车辆发车间隔时间与乘客等候人数之间的关系,经过调查得到如下数据:
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求关于的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,
间隔时间(分钟) | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
等候人数(人) | 23 | 25 | 26 | 29 | 28 | 31 |
调查小组先从这6组数据中选取4组数据求线性回归方程,再用剩下的2组数据进行检验.检验方法如下:先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数,再求与实际等候人数的差,若差值的绝对值不超过1,则称所求方程是“恰当回归方程”.
(1)若选取的是后面4组数据,求关于的线性回归方程,并判断此方程是否是“恰当回归方程”;
(2)为了使等候的乘客不超过35人,试用(1)中方程估计间隔时间最多可以设置为多少(精确到整数)分钟?
附:对于一组数据,,……,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,
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解题方法
【推荐2】某保险公司根据官方公布的2011—2020年的营业收入,制成表格如下:
由表1,得到下面的散点图:
根据已有的函数知识,某同学选用二次函数模型(b和a均为常数)来拟合y和x的关系,这时,可以令,得,由表1可得t与y的相关数据如表2.
(1)根据表2中数据,建立y关于t的回归直线方程(系数精确到个位数);
(2)根据(1)中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
参考公式;回归直线方程中,,.
参考数据:,,,.
表1
年份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
年份序号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
营业收入y(亿元) | 0.52 | 0.36 | 33.6 | 132 | 352 |
年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
年份序号x | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
营业收入y(亿元) | 571 | 912 | 1207 | 1682 | 2135 |
根据已有的函数知识,某同学选用二次函数模型(b和a均为常数)来拟合y和x的关系,这时,可以令,得,由表1可得t与y的相关数据如表2.
表2
t | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 |
y | 0.52 | 9.36 | 33.6 | 132 | 352 |
t | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 |
y | 571 | 912 | 1207 | 1682 | 2135 |
(2)根据(1)中得到的回归直线方程估计2023年的营业收入以及营业收入首次超过4000亿元的年份.
参考公式;回归直线方程中,,.
参考数据:,,,.
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