【推荐1】某商场经销某商品，顾客可以采用一次性付款或分期付款购买，根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是，经销件该产品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润元；若顾客采用分期付款，商场获得利润元．
(1)求位购买商品的顾客中至少有位采用一次性付款的概率．
(2)若位顾客每人购买件该商品，求商场获得利润不超过元的概率．
(3)若位顾客每人购买件该商品，设商场获得的利润为随机变量，求的分布列和数学期望．

【推荐2】学生甲想加入校篮球队，篮球教练对其进行投篮测试．测试规则如下：①投篮分为两轮，每轮均有两次机会，第一轮在罚球线处，第二轮在三分线处；②若他在罚球线处投进第一球，则直接进入下一轮，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则进入下一轮，否则不预录取；③若他在三分线处投进第一球，则直接录取，若第一次没投进可以进行第二次投篮，投进则录取，否则不予录取．已知学生甲在罚球线处投篮命中率为，在三分线处投篮命中率为．假设学生甲每次投进与否互不影响．
(1)求学生甲被录取的概率；
(2)在这次测试中，记学生甲投篮的次数为，求的分布列．

【推荐3】10个考签中有4个难签，2人参加抽签(不放回)，甲先，乙后，求：

(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙都抽到难签的概率；
(3)甲没有抽到难签，而乙抽到难签的概率．

【推荐1】在2022年北京冬奥会自由式滑雪女子U型池场地技巧决赛上，中国运动员谷爱凌以95.25的高分强势夺冠，该项比赛规则：进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行表演，裁判员根据运动员的腾空､回转､技巧､难度等进行评分，选手可以有三次表演，其中最高的分数将决定最终排名，现有运动员甲､乙二人在自由式滑雪女子U型池场地技巧前四站的比赛成绩如下表：

	运动员甲的三次成绩			运动员乙的三次成绩
	第一次	第二次	第三次	第一次	第二次	第三次
第1站	83.35	89.12	87.24	88.25	88.34	91.26
第2站	88.04	92.08	91.24	86.03	89.38	0
第3站	78.34	0	90.35	90.34	88.92	91.22
第4站	89.02	88.92	92.30	90.56	88.07	89.32

假设甲､乙二人每次比赛成绩相互独立.
(1)从上表4站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；
(2)从上表4站中任意选取2站，用表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的分布列和数学期望.

【推荐2】体育测试成绩分为四个等级：优､良､中､不及格.某班名学生参加测试的结果如下：

等级	优	良	中	不及格
人数

(1)从该班任意抽取名学生，求这名学生的测试成绩为“良”或“中”的概率；
(2)测试成绩为“优”的名男生记为，，，名女生记为，现从这人中任选人参加学校的某项体育比赛.求参赛学生中恰有名女生的概率.

【推荐3】运动健康已成为大家越来越关心的话题，某公司开发的一个类似计步数据库的公众号．手机用户可以通过关注该公众号查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的PK和点赞．现从张华的好友中随机选取40人（男、女各20人），记录他们某一天行走的步数，并将数据整理如表：

步数 性别	0～2000	2001～5000	5001～8000	8001～10000	＞10000
男	1	2	4	7	6
女	0	3	9	6	2

（1）若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”，根据题意完成下列2×2列联表，并据此判断能否有90%的把握认为男、女的“评定类型”有差异？

	积极型	懈怠型	总计
男
女
总计

（2）在张华的这40位好友中，从该天行走的步数不超过5000步的人中随机抽取2人，设抽取的女性有X人，求X=1时的概率．
参考公式与数据：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K²=，其中n=a+b+c+d．

【推荐2】从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，求的数学期望.

【推荐3】冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料、材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.

（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？

	材料	材料	合计
成功
不成功
合计

（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？
附：参考公式：，其中.

	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

【推荐1】部分高校开展基础学科招生改革试点工作（强基计划）的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考大学，每门科目达到优秀的概率均为，若该考生报考大学，每门科目达到优秀的概率依次为，，，其中.
(1)若，分别求出该考生报考两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决策，该考生更有希望进入大学的面试环节，求的范围.

【推荐2】某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.
表1

等级	一等品	二等品	三等品	次品

表2

等级	一等品	二等品	三等品	次品
利润

若从这批产品中随机抽取出的件产品的平均利润（即数学期望）为元.
(1)设随机抽取件产品的利润为随机变量，写出的分布列并求出、的值；
(2)从这批产品中随机取出件产品，求这件产品的总利润不低于元的概率.

【推荐3】甲､乙两队进行篮球比赛，采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立．
(1)在比赛进行4场结束的条件下，求甲队获胜的概率；
(2)赛事主办方需要预支球队费用万元．假设主办方在前3场比赛每场收入100万元，之后的比赛每场收入200万元．主办方该如何确定的值，才能使其获利（获利=总收入预支球队费用）的期望高于万元？