【推荐1】对于函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”.
（1）求证：函数在上是“1跃点”函数；
（2）若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；
（3）是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2021个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】设二次函数满足下列条件：
①当时，的最小值为0，且成立；
②当时，恒成立．
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求最大的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立

【推荐3】已知函数为定义在上的奇函数.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）判断在定义域上的单调性，并用函数单调性定义给予证明；
（Ⅲ）若关于的方程在上有解，求实数的取值范围.

【推荐1】已知为正整数且，将等式记为式.
（1）求函数，的值域；
（2）试判断当时（或2时），是否存在，（或，，）使式成立，若存在，写出对应，（或，，），若不存在，说明理由；
（3）求所有能使式成立的（）所组成的有序实数对.

【推荐2】已知函数．
(1)若a＝0，求函数的最值；
(2)若a＝1，函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．

【推荐3】对于函数f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么称h（x）为f₁（x），f₂（x）的生成函数.
（1）函数f₁（x）=x²﹣x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²﹣x+1，h（x）是否为f₁（x），f₂（x）的生成函数？说明理由；
（2）设f₁（x）=1﹣x，f₂（x）=，当a=b=1时生成函数h（x），求h（x）的对称中心（不必证明）；
（3）设f₁（x）=x，（x≥2），取a=2，b＞0，生成函数h（x），若函数h（x）的最小值是5，求实数b的值.

【推荐1】对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.
（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；
（2）设是定义域上的“类函数”，求实数的取值范围；
（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数取值范围.

【推荐2】对于函数和，若存在区间，使在区间上恒成立，则称区间是函数和的“公共邻域”．设函数的反函数为，函数的图像与函数的图像关于点对称．
（1）求函数和的解析式；
（2）若，求函数的定义域；
（3）是否存在实数，使得区间是和的“公共邻域”，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

【推荐3】对定义域的函数，，规定：
     函数
   （1）若函数，，写出函数的解析式；
   （2）求问题（1）中函数的值域；
   （3）若，其中是常数，且，请设计一个定义域为R的函
            数，及一个的值，使得，并予以证明.