【推荐1】一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.
（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；
（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

【推荐2】已知数列中，，，.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）令，求证：；
（Ⅲ）设是数列的前项和，求证：.

【推荐3】已知平方和公式：，其中.
（1）记，其中，求的值；
（2）已知，求自然数的值；
（3）抛物线.轴及直线围成了如图（1）的阴影部分，与轴交于点，把线段分成等份，作以为底的内接矩形如图（2），阴影部分的面积为，等于这些内接矩形面积之和.，当时的极限值.

图（3）中的曲线为开口向右的抛物线，抛物线.轴及直线围成了图中的阴影部分，请利用极限平方和公式.反函数或割补法等知识求出阴影部分的面积.

【推荐1】已知数列，，…，的项，其中…，，，其前项和为，记除以3余数为1的数列，，…，的个数构成的数列为，.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式，并化简.

【推荐2】已知数列满足 .
(1)证明：当时，；
(2)证明： ()；
(3)证明：为自然常数.

【推荐3】已知（），是关于的次多项式；
（1）若恒成立，求和的值；并写出一个满足条件的的表达式，无需证明．
（2）求证：对于任意给定的正整数，都存在与无关的常数，，，…，，使得．

【推荐1】已知正项数列的前项和.
（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；
（2）设正项数列的前项和为，若，且.
①求数列的通项公式；
②求证：.

【推荐2】已知数列为数列的前n项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：；
(3)证明：．