【推荐1】已知函数.
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，作出函数的图像，并解不等式：；
（3）若函数与的图像关于对称，且任意，都有，求实数的取值范围.

【推荐2】定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.
（1）当时，若， ，求函数在闭区间上的值域；
（2）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.

【推荐3】定义函数(为定义域)图像上的点到坐标原点的距离为函数的的模.若模存在最大值，则称之为函数的长距；若模存在最小值，则称之为函数的短距.
(1)分别判断函数与是否存在长距与短距，若存在，请求出;
(2)求证：指数函数的短距小于1;
(3)对于任意是否存在实数，使得函数的短距不小于2且长距不大于4.若存在，请求出的取值范围；不存在，则说明理由？

【推荐1】对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]内是单调的；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间“.
(1)判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；
(2)如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值.

【推荐2】对于函数，如果存在实数a，b使得函数，那么我们称为函数，的“函数”
(1)已知，，试判断能否为函数，的“函数”，若是，请求出a，b的值；若不是，说明理由；
(2)已知，，为函数，的“函数“（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值4．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数m的最大值．

【推荐3】布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.
(1)求函数的不动点;
(2)若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围.