【推荐1】小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究．在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，，．
   
(1)试说明；
(2)求的长．

【推荐2】如图，在平行四边形中，为对角线．

(1)用尺规作图完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，垂足为O，分别交于点M，N．（保留作图痕迹，不写作法和结论．）
(2)根据（1）中作图，证明．请你补全证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴___________①
∴，
又∵MN垂直平分，
∴，
∴②
∵
∴___________③
∴

【推荐3】已知：如图，，，，，垂足为点E．点F为的中点．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)连结，若，，求的长．

【推荐1】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，BD＝CD．

(1)求证：DE＝DF；
(2)判断△ABC的形状并证明．

【推荐2】如图，在中，，，是一条角平分线.
求证：.

【推荐3】如图，已知平分的外角，点为上一点，.求证：.

【推荐1】如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）
   
(1)港口A与小岛C之间的距离；
(2)甲船从B处行至小岛C的速度．

【推荐2】如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过格点A、B、C．

(1)画出该圆弧所在圆的圆心D的位置，并连接．
(2)请在（1）的基础上，以点O为原点、水平方向所在直线为x轴、竖直方向所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，完成下列问题：
①的半径为______（结果保留根号）；
②若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是______；
③若，直线与的位置关系是______．

【推荐3】如图1，已知和均为等腰直角三角形，点D、E分别在线段上，．

(1)观察猜想：如图2，将绕点A逆时针旋转，连接，的延长线交于点F．当的延长线恰好经过点E时，点E与点F重合，此时，
①的值为 　 　；
②的度数为 　 　度；
(2)类比探究：如图3，继续旋转，点F与点E不重合时，上述结论是否仍然成立，请说明理由．
(3)拓展延伸：若，，当所在的直线垂直于时，请直接写出线段的长．