问题发现
（1）在
中，
，
，则面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形
中，
，
，
，求
的值．
问题解决
（3）有一个直径为
的圆形配件
，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞
，要求
，
，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值及此时
的长；若不存在，请说明理由．
（1）在
中，，，则面积的最大值为 ；（2）如图1，在四边形
中，，，，求的值．问题解决
（3）有一个直径为
的圆形配件，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞，要求，，并使切割出的四边形孔洞的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形？若存在，请求出四边形面积的最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．
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更新时间：2024-01-09 22:50:38
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，
内接于，过点C作的切线，交AB延长线于点D，
于点E，交CD于点F．
(1)求证
；
(2)若
，AC＝8，求EF的长．
内接于，过点C作的切线，交AB延长线于点D，于点E，交CD于点F．(1)求证
；(2)若
，AC＝8，求EF的长．
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较难
(0.4)
【推荐2】【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容，如图，直线
，与
的面积相等吗？为什么？
【基础巩固】如图1，正方形内接于，直径
，求阴影面积与圆面积的比值；
【尝试应用】如图2，在半径为5的中，
，求
；
【拓展提高】如图3，
是的直径，点P是
上一点，过点P作弦
于点P，点F是上的点，且满足
，连接
交
于点E，若
，
，求的半径．
，与的面积相等吗？为什么？【基础巩固】如图1，正方形
内接于，直径，求阴影面积与圆面积的比值；【尝试应用】如图2，在半径为5的
中，，求；【拓展提高】如图3，
是的直径，点P是上一点，过点P作弦于点P，点F是上的点，且满足，连接交于点E，若，，求的半径．
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】阅读理解：
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：
，
，可得
，
即：
，（规定sin90°＝1）．
(1)探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：
（用＞、＝或＜连接）．
事实上，以上结论适用于任意三角形．
(2)初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b．
(3)综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（
，
）
如图1，Rt△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠C＝90°，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义：
，，可得，即：
，（规定sin90°＝1）．(1)探究活动：
如图2，在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，其外接圆半径为R，那么：
（用＞、＝或＜连接）．事实上，以上结论适用于任意三角形．
(2)初步应用：
在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，∠B＝45°，a＝6，求b．
(3)综合应用：
如图3，在某次数学活动中，小冰同学测量一古塔CD的高度，在A处用测角仪测得塔顶C的仰角为15°，又沿古塔的方向前行了100m到达B处，此时A，B，D三点在一条直线上，在B处测得塔顶C的仰角为45°，求古塔CD的高度（结果保留小数点后一位）．（
，）
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较难
(0.4)
【推荐2】课堂上，老师将图①中△AOB绕O点逆时针旋转，在旋转中发现图形的形状和大小不变，但位置发生了变化当△AOB旋转90°时，得到△A1OB1．已知A(4，2)、B(3，0)．
（1）△A1OB1的面积是 ； A1点的坐标为（ ， ）；B1点的坐标为 ( ， )；
（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交
轴于E．此时A′、O′和B′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O′B′ 经过B点．求旋转到90°时重叠部分四边形CEBD的面积；
（3）求:①△AOB外接圆的半径等于 ；②在（2）的条件下，四边形CEBD的外接圆的周长等于 .
（1）△A1OB1的面积是 ； A1点的坐标为（ ， ）；B1点的坐标为 ( ， )；
（2）课后，小玲和小惠对该问题继续进行探究，将图②中△AOB绕AO的中点C(2，1)逆时针旋转90°得到△A′O′B′，设O′B′交OA于D，O′A′交
轴于E．此时A′、O′和B′的坐标分别为(1，3)、(3，－1)和(3，2)，且O′B′ 经过B点．求旋转到90°时重叠部分四边形CEBD的面积；（3）求:①△AOB外接圆的半径等于 ；②在（2）的条件下，四边形CEBD的外接圆的周长等于 .
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较难
(0.4)
【推荐3】【问题初探】：（1）如图①，在中，点
、
分别在边、
上，连接
，∥
，
．若
，则的长为______；
【问题深入】：（2）如图②，在扇形
中，点
是
上一动点，连接，，
，
，求四边形
的面积的最大值；
【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合
年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作
某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中
∥，
米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接
，
，与交于点
，连接
，沿修建一条石子小路（宽度不计），将
和
进行绿化．根据设计要求，
．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
中，点、分别在边、上，连接，∥，．若，则的长为______；【问题深入】：（2）如图②，在扇形
中，点是上一动点，连接，，，，求四边形的面积的最大值；【拓展应用】：（3）为进一步促进西安市文化和旅游高质量发展，推动全市文明旅游创建工作，结合
年陕西省文明旅游示范单位申报工作，一并开展年西安市文明旅游示范单位评选工作某地为参加评选积极改善环境，拟建一个四边形休闲广场，其大致示意图如图③所示，其中∥，米．点处设立一个自动售货机，点是的中点，连接，，与交于点，连接，沿修建一条石子小路（宽度不计），将和进行绿化．根据设计要求，．为倡导绿色新风尚，现要使绿化的面积尽可能的大，请问和的面积之和是否存在最大值？若存在，请求出和面积之和的最大值；若不存在，请说明理由．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AC1、BD1，AC1与BD1交于点P．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1；
②请直接写出AC1与BD1的位置关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝12，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．
①求证：△AOC1≌△BOD1；
②请直接写出AC1与BD1的位置关系；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC＝3，BD＝5，设AC1＝kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，请说明理由，并求出k的值．
（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，BD＝12，连接DD1，设AC1＝kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
名校
【推荐2】如图，将含30°角的直角三角板
绕其直角顶点C顺时针旋转α
，得到
与交于点D，过点D作
交
于点E，连接
．设
的面积为S．
(1)当
时，求x的值．
(2)①求证
为直角三角形；
②求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)以点E为圆心，为半径作
，当
时，判断与
的位置关系，并求相应的
值．
绕其直角顶点C顺时针旋转α，得到与交于点D，过点D作交于点E，连接．设的面积为S．(1)当
时，求x的值．(2)①求证
为直角三角形；②求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(3)以点E为圆心，
为半径作，当时，判断与的位置关系，并求相应的值．
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经过点
．抛物线与
轴的交点为
是抛物线上的动点，且在第一象限内．
，顶点
的对称点为
，求点
相等时，点
得到点
，当点
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】如图，边长为4的等边△ABC中，点D是BC的中点，点E是射线AD上一动点，△ECF是等边三角形，连接BE，BF．
(1)求∠FBC的度数；
(2)连接DF，求DF的最小值；
(3)是否存在点E，使得以点E，B，F，C为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
(1)求∠FBC的度数；
(2)连接DF，求DF的最小值；
(3)是否存在点E，使得以点E，B，F，C为顶点的四边形为菱形？若存在，求出此时AE的长；若不存在，请说明理由．
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解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，等腰梯形中，
，动点P从点C出发沿方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿
方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
(1)求的长；
(2)设
，问当x为何值时
的面积达到最大，并求出最大值；
(3)探究：在边上是否存在点M使得四边形
是菱形？若存在，请找出点M，并求出
的长；不存在，请说明理由．
中，，动点P从点C出发沿方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．(1)求
的长；(2)设
，问当x为何值时的面积达到最大，并求出最大值；(3)探究：在
边上是否存在点M使得四边形是菱形？若存在，请找出点M，并求出的长；不存在，请说明理由．
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放置在平面直角坐标系中，点
，点
，点
，点
上（点
，
重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点
，点
落在第一象限．设
．
时，求
的大小和点
的下方，
，
分别与边
的式子表示重合部分的面积
，并直接写出
，求
