【推荐1】如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于点，两点（点在点的左侧），点是抛物线对称轴上的一个动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)当的值最小时，求点的坐标．

【推荐2】如图，已知点A(-1，0)，B(3，0)，C(0，)在抛物线y=ax²+bx+c 上.
(1)求抛物线解析式；
(2)在第一象限的抛物线上求一点P，使△PBC的面积为.

【推荐3】如图，抛物线经过、、三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点，交于点E．

(1)求抛物线所对应的函数表达式；直接写出直线的表达式；
(2)当时，求点D的坐标；
(3)以为对角线，作菱形，使点N在的右边，且，求点N与y轴的最大距离．

【推荐1】已知二次函数．
（1）甲说：该二次函数的图象必定经过点．乙说：若图象的顶点在x轴上，则，你觉得他们的结论对吗？请说明理由；
（2）若抛物线经过，，求证；
（3）甲问乙：“我取的k是一个整数，画出它的图象后发现抛物线与x轴的一个交点在y轴右侧，一个交点在原点和之间，你知道k等于几吗？并求出k的值．

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax²+bx（a＞0）上．
（1）①若m＝3，n＝15，求该抛物线的表达式；
②在①的条件下，若，则的取值范围是       ；
（2）已知点（﹣1，y₁），（2，y₂），在该抛物线上．若mn＜0，比较y₁，y₂的大小，并说明理由．

【推荐3】如图是某同学正在设计的一动画示意图，x轴上依次有A，O，N三个点，且，在ON上方有五个台阶（各拐角均为90°），每个台阶的高、宽分别是1和1.5，台阶到x轴距离．从点A处向右上方沿抛物线L：发出一个带光的点P．

(1)写出抛物线L与y轴的交点坐标为______，点A的坐标为______；
(2)通过计算说明点P会落在哪个台阶上；
(3)当点P落到台阶上后立即弹起，又形成了另一条与L形状相同的抛物线C，且最大高度为11，求C的解析式，并说明其对称轴是否与台阶有交点．

【推荐1】如图，抛物线与双曲线相交于点A、B，且抛物线经过坐标原点，点A在第二象限内，且点A到两坐标轴的距离相等，点B的坐标为．

(1)求A的坐标及抛物线的解析式；
(2)若点E为A、B两点间的抛物线上的一点，试求面积的最大值，并求出此时点E的坐标；
(3)过点B作直线轴，点C为直线与抛物线的另一交点．在抛物线上是否存在点D，使的面积等于的面积？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线经过，，．
   
(1)求抛物线的解析式；
(2)该抛物线上有一点不与点、、重合，使得，求点的坐标；
(3)点是线段上的动点不与点、点重合，过点作轴交抛物线于点，求线段的最大值及此时点的坐标．

【推荐3】如图，已知抛物线C：y＝x²－3x＋m，直线l：y＝kx(k＞0)，当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．
(1)求m的值；
(2)若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l₁：y＝－3x＋b交于点P，且＋＝，求b的值；
(3)在(2)的条件下，设直线l₁与y轴交于点Q，问：是否存在实数k使S_△APQ＝S_△BPQ，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知关于的一元二次方程有实数根，为正整数．
(1)求的值；
(2)当此方程有两个非零的整数根时，关于的二次函数的图像记为，将向下平移9个单位，记平移后的抛物线为，是否存在实数、，使与一次函数（其中是自变量，是的函数，、是均不为0的常数）的图象有唯一公共点，若存在，求此时、的值，若不存在，请说明理由；
(3)设（2）的图像与轴的交点为，当图像在轴右侧部分沿过点与轴平行的 直线折叠后，与未折叠的部分构成一个新图像，当直线与新图像有三个公共点时，直接写出的取值范围？

【推荐2】已知二次函数（a，b，c为已知数，且）与y轴的交点是．

(1)求c的值．
(2)若二次函数与一次函数的图象交于点，求k的值，并用含a的代数式表示b．
(3)在（2）成立的情况下，若，当时，的最大值为m，最小值为n，求的最小值．

【推荐3】如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是　 　三角形；
（2）若抛物线的“抛物线三角形”是直角三角形，求b的值；
（3）若抛物线y＝﹣x²﹣bx与x轴交于原点O和点B，抛物线的顶点坐标为A，△ABO是“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．