【推荐1】我们知道求函数图像的交点坐标，可以联立两个函数解析式组成方程组，方程组的解就是交点的坐标．如：求直线与的交点坐标，我们可以联立两个解析式得到方程组，解得，所以直线与的交点坐标为．请利用上述知识解决下列问题：

（1）已知直线和双曲线，
①当时，求直线与双曲线的交点坐标；
②当为何值时，直线与双曲线只有一个交点？
（2）已知点是轴上的动点，，以为边在右侧作正方形，当正方形的边与反比例函数的图像有4个交点时，试求的取值范围．

【推荐2】课本再现：
如图，是一个正方形花园，，是它的两个门，且．要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？

   

知识应用：
如图，是一个正方形草地，现要在内部修建两条路、，且，

   

①请问这两条路、还相等吗？为什么？
②如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，若折痕的长为，求此时的长；

   

拓展延伸：
如图，将边长为的正方形纸片沿折叠，点落在边上的点处，与交于点，取的中点，连接、，则的最小值为______，此时的长度是______．

   

【推荐3】已知，如图1，是边长为1的正方形的对角线，平分交于点，延长到点，使，连接，交的延长线于点．
   
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)如图2，在上取一点，且，若以为轴，为轴建立直角坐标系，问在直线上是否存在点P，使得以、、为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【推荐1】在正方形中，为直线上一动点(不与端点重合)，以为直角边在右侧作等腰直角三角形连接．
（1）如图①，当点在线段上时，线段和的数量关系为　　　　；

（2）如图②，当点在线段延长线上时，线段和之间又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；

（3）如图③，当点在线段反向延长线上时，且点分别在直线的两侧，请直接写出线段和的数量关系为　　　　；

【推荐2】如图，等腰三角形OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，动点P从原点O出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向点B匀速运动，动点Q从原点O出发，沿y轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于E，F，设动点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也停止运动，他们运动的时间为t秒（t≥0）．

（1）点E的坐标为           ，F的坐标为              ；
（2）当t为何值时，四边形POFE是平行四边形；
（3）是否存在某一时刻，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，四边形是矩形，，，以为一边向矩形外部作等腰直角，．点在线段上，且，点沿折线运动，点沿折线运动（，与点不重合），在运动过程中终保持．设与之间的距离为，四边形的面积为．

（1）若，回答下列问题：
①当点在线段上时，若四边形的面积为48，则______．
②求整个运动过程中，关于的函数解析式，并求出的最大值；
（2）如图2，若点在线段上时，要使四边形的面积始终不小于50，求的取值范围．