1 . 观察下列算式：
，，①，②，
，，
(1)①________，②________；
(2)求的个位数字．

2 . 小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为0）的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作．
(1)直接写出计算结果，_____， _____；
(2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 _____．（填序号）
①对于任何正整数n，都有；
②；
③；
④对于任何正整数n，都有．
(3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式（n为正整数，），要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含a，n的式子表示）
(4)请利用（3）问的推导公式计算：．

3 . 探索规律．

(1)观察上面的各图形，我们会发现：
图①空白部分小正方形的个数是，
图②空白部分小正方形的个数是，
图③空白部分小正方形的个数是____________；
(2)像这样继续排列下去请你再写出一道算式：______，
你会发现这些算式存在一个规律：
请归纳______（用含有字母的算式表示，其中为正整数）；
(3)运用这个规律计算：．

4 . 【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：．
【初步探究】（1）直接写出计算结果：　　；
（2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有      ；（横线上填写序号）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．圈n次方等于它本身的数是1或
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）请把有理数的圈n（）次方写成幂的形式：                ；
（4）计算：．

5 . 【概念学习】
规定：求若干个相同的有理数（均不为0）的除法运算叫做除方，如，
等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，
记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作，读作“的圈次方”．
【初步探究】
(1)直接写出计算结果：__________，__________．
(2)关于除方，下列说法错误的是（       ）
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
B．对于任何正整数，
C．
D．负数的圈奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果是正数
(3)【深入思考】
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？

       
试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幕的形式．
____________________；
____________________；
____________________．
(4)想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幕的形式为____________________．
(5)算一算：．

7 . 如果一个两位数的个位数字是，十位数字是，那么我们可以把这个两位数简记为，即．如果一个三位数的个位数字是，十位数字是，百位数字是，那么我们可以把这个三位数简记为，即．
(1)列式分别表示出两位数和，并证明和的差能被9整除．
(2)若规定：对任意一个三位数进行运算，得到整数． 如：． 若一个三位数满足，求这个三位数．
(3)已知一个三位数和一个两位数，若满足，请求出所有符合条件的三位数．

8 . 曹冲称象是我国历史上著名的故事，大家都说曹冲聪明．他到底聪明在何处呢？我们都知道，曹冲称得是石块而不是大象，并且确信，石块的质量就是大象的体重．曹冲的聪明就在于，他用化归思想将问题转变了；借助于船这种工具，将大象的体重转变为一块块石块的重量．转变就是化归的实质．化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式．从字面上看，化归就是转化和归结的意思．例如：我们在七年级数学上册第二章中引入“相反数”这个概念后，正负数的减法就化归为已经解决的正负数的加法了；而引入“倒数”这个概念后，正负数的除法就化归为已经解决的正负数的乘法了．
下面我们再通过具体实例体会一下化归思想的运用：
数学问题，计算(其中是正整数，且，)．
探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．
探究一：计算．
第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，……；
……
第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分割图可得等式：．
探究二：计算．
第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；
第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为；
第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，……，
……
第n次分别，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为，最后空白部分的面积是．

根据第n次分制图可得等式：，
两边同除2，得，
探究三：计算．
(仿照上述方法，在图①中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程)

解决问题．计算．
(在图②中只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空)．
(1)根据第n次分割图可得等式：___________．
(2)所以，___________．
(3)拓广应用：计算___________．

9 . 【阅读】求值1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰
解：设S＝1＋2＋2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰①
将等式①的两边同时乘以2得：2S＝2＋2²＋2³＋2⁴＋2⁵＋…＋2¹¹②
由②﹣①得：2S﹣S＝2¹¹﹣1
即：S＝1＋2＝2²＋2³＋2⁴＋…＋2¹⁰＝2¹¹﹣1
【运用】仿照此法计算：
(1)1＋3＋3²＋3³＋3⁴＋…＋3⁵⁰；
(2)
(3)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为S₁，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S₂，依次操作2022次，依次得到小正方形S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₂₂
完成下列问题：

①小正方形S₂₀₂₂的面积等于 ；
②求正方形S₁、S₂、S₃、…、S₂₀₂₂的面积和．

10 . 观察下列解题过程：
计算：的值
解：设①，
则②，
由②－①，得.即原式
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，请你用学到的方法计算：