1 . 【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点A(0,1)、B(−b,c),以AB为直径作⊙P.若⊙P交x轴于点M(m,0)、N(n,0),则m、n为方程
两个实数根.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/9/bbbceb70-50d6-4c6b-b6f7-ccd7d0e240ff.png?resizew=379)
【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(−b−m)2,AB2=(1−c)2+b2,在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(−b−m)2=(1−c)2+b2.化简得:m2+bm+c=0,同理可得: .所以m、n为方程
的两个实数根.
【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2=0两根为横坐标的点M、N.
(3)已知点A(0,1)、B(6,9),以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a)、B(−b,c),若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N,则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 .
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
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【探究】
(1)由勾股定理得,AM2=12+m2,BM2=c2+(−b−m)2,AB2=(1−c)2+b2,在Rt△ABM中,AM2+BM2=AB2,所以12+m2+c2+(−b−m)2=(1−c)2+b2.化简得:m2+bm+c=0,同理可得: .所以m、n为方程
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【运用】
(2)在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2=0两根为横坐标的点M、N.
(3)已知点A(0,1)、B(6,9),以AB为直径作⊙C.判断⊙C与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展】
(4)在平面直角坐标系中,已知两点A(0,a)、B(−b,c),若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N,则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 .
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2022-11-08更新
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321次组卷
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3卷引用:江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
名校
2 . 【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔(1795﹣1881)曾给出了一元二次方程
的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点
,
,以
为直径作
.若
交x轴于点
,
,则m,n为方程
的两个实数根.
【自主探究】(1)由勾股定理得,
,
,
,在
中,
,所以
,化简得:
.同理可得
所以m,n为方程
的两个实数根.
【迁移运用】(2)在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M,N.
(3)已知点
,
,以
为直径作
.判断
与x轴的位置关系,并说明理由.
【拓展延伸】(4)在平面直角坐标系中,已知两点
,
,若以
为直径的圆与x轴有两个交点M,N,则以点M,N的横坐标为根的一元二次方程是 .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92b800b7d6a688abf8a3018c133cec9e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1082a19aa363ea6dc60d4e4c055daf3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bfdcd473f2736938a9c0a17f1ff4a663.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d1d9218917d85a1dc19e60f076b8bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d1d9218917d85a1dc19e60f076b8bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b62769b7177ef4bc952dc1dd51d6b510.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/883f23ab75b490d6e9e03b8ff8b269c7.png)
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【自主探究】(1)由勾股定理得,
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/78271465de6b128bb93a0a7d50419faa.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5ebc9a7a29f686f4288c70391897b07.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5ea1612be241885e734759005d87cb4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ead0eba200a59b170a6b5ef8fa83001.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e0998a2054dc8da99c74b3ea3457915.png)
所以m,n为方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92b800b7d6a688abf8a3018c133cec9e.png)
【迁移运用】(2)在图2中的x轴上画出以方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b21278fc1806439cb3343668cde9d3a.png)
(3)已知点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1082a19aa363ea6dc60d4e4c055daf3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dd8a31b5335186eb1bea5c80cddcfd9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/669e8dfb2b45e6f74d86408343a18fe2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/669e8dfb2b45e6f74d86408343a18fe2.png)
【拓展延伸】(4)在平面直角坐标系中,已知两点
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2023-11-28更新
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133次组卷
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3卷引用:江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(已下线)清单04 与一元二次方程有关的动点问题 (7种题型解读(25题))-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲(苏科版)广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
名校
3 . 【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
的几何解法:如图1,在平面直角坐标系中,已知点
、
,以
为直径作
.若
交x轴于点
、
,则
为方程
两个实数根.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/9/f538c404-79eb-4f0b-9863-d73d65b7656b.png?resizew=428)
(1)【探究】由勾股定理得,
,
,
,在
中,
,所以
.化简得:
,同理可得:______.所以m、n为方程
的两个实数根.
(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M、N.
(3)已知点
、
,以
为直径作
.请运用以上知识判断
与x轴的位置关系,并说明理由.
(4)【拓展】在平面直角坐标系中,已知两点
、
,若以
为直径的圆与交x轴有两个交点M、N,则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______.
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d1d9218917d85a1dc19e60f076b8bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d1d9218917d85a1dc19e60f076b8bfa.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d7b496003e476b1cf529e42c8bfd2e7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/454e707b45ddf2d449f3521308710549.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895334c1291b3c03bab3875636aa272c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92b800b7d6a688abf8a3018c133cec9e.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/9/f538c404-79eb-4f0b-9863-d73d65b7656b.png?resizew=428)
(1)【探究】由勾股定理得,
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4f0dc00add290d113b262736819c7191.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f10b279abee7aad0142b1ebfe6dd816b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fee5fa5939efeffb602920677c183e18.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/678da77b443f184fe803fbf1330cc0bd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5ea1612be241885e734759005d87cb4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ef19779974f8de538e04c2e26b3057c8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3e0998a2054dc8da99c74b3ea3457915.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/92b800b7d6a688abf8a3018c133cec9e.png)
(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8b21278fc1806439cb3343668cde9d3a.png)
(3)已知点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9139ae38d3e3279e9204ba0942385bd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f620f3fade04badd78425171e6fff7a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/669e8dfb2b45e6f74d86408343a18fe2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/669e8dfb2b45e6f74d86408343a18fe2.png)
(4)【拓展】在平面直角坐标系中,已知两点
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d8f5d3f1b843bfee48dec77d63e80ef.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f52a58fbaf4fea03567e88a9f0f6e37e.png)
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4 . 阅读材料:
材料1:若关于
的一元二次方程
的两个根为
,
,则
,
.
材料2:已知一元二次方程
的两个实数根分别为
,
,求
的值.
解:
一元二次方程
的两个实数根分别为
,
,
,
,
则
.
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程
的两个根为
,
,则
.
.
(2)类比应用:已知一元二次方程
的两根分别为
、
,求
的值.
(3)思维拓展:已知实数
、
满足
,
,且
,求
①
;
②
的值.
材料1:若关于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9ff52ec8dab4aaac7b28a0efe580d86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b12a4eecd249473a831d0ee472470240.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9565876bc50bceb63e5793c8c67a9032.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f05dd02b6f561dcf94bab8a3160108d5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/897630dd340ec6c6b20cdd754d0a12c9.png)
材料2:已知一元二次方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4cdd6f27334444c1884876b9e4cfe6f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f871af1499aa05c6dd8951277133e96f.png)
解:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/16f3d198e76391779fa3badc848c8ac8.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f4cdd6f27334444c1884876b9e4cfe6f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e3240097d0bb2cd8d1ed6f4185ac9aa3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/dbb20cf7da78670140c60578ce7d82cc.png)
则
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c3a91649613348c475254e93d3da3791.png)
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4adcbd261d46859be0f0fe36beca7a91.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c814128ea2139e33db94ea590e7c2223.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aec19b68e3add9d5bfcc6269a1855b87.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/97dad16e4910ec15add074c4077b0e86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f947d030c265753e4201ae4d9c69e99.png)
(2)类比应用:已知一元二次方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4adcbd261d46859be0f0fe36beca7a91.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29d19f98faf2f4b730c5c838e44b0331.png)
(3)思维拓展:已知实数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c5873c01192b7d33b7483f444f90b5b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/36a1b09c653185842513e24ebba60bb3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e2418d1e0cd4243bd4cebf15c4e8376d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f1c1e3b62939b9f469a2aa749b2f066.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/579c948359646bfdd6fc9b68328aa068.png)
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/22679a2a13fe2fe87a58ed9e7894559e.png)
②
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d94746e35023b8bd223ecf9fb2a44161.png)
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真题
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5 . 阅读材料:
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=
,x1x2=![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b246aa3b56becc905d3fb64c6d5ec4a.png)
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1,mn=-1,
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2= ;x1x2= .
(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求
的值.
(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求
的值.
材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4959731b39859941d702e680b554b707.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b246aa3b56becc905d3fb64c6d5ec4a.png)
材料2:已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.
解:∵一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,
∴m+n=1,mn=-1,
则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1
根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:
(1)材料理解:一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2= ;x1x2= .
(2)类比应用:已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/29d19f98faf2f4b730c5c838e44b0331.png)
(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t,求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d94746e35023b8bd223ecf9fb2a44161.png)
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2022-06-15更新
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4824次组卷
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62卷引用:第02练 一元二次方程的根与系数的关系-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练(苏科版)
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