1 . 问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）直接判断：       （填“”或“” ；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形中，点、、分别在边、和上，且，垂足为．那么与相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，点在边上，且，垂足为，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．
①四边形是正方形吗？请说明理由；
②若，点在上，，直接写出的最小值为 　　．

2 . 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形．

(1)概念理解：若为和谐三角形，且，则＝             ，＝             ，＝             ．（任意写一种即可）
(2)问题探究：如果在和谐三角形中，，那么的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：如图，内接于，为锐角，为圆的直径，．过点作，交直径于点E，交于点，若将分成的两部分的面积之比为，则一定为和谐三角形吗？请说明理由．

4 . 综合与实践：
问题情境：如图1，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，使得点落在的延长线上，分别交，于点和点．
初步探究：（1）的形状是 　　；
深入探究：（2）如图2，延长交于点，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，将矩形【详解】
沿射线方向平移得到矩形，当点落在上时，延长交于点，请直接写出四边形的面积．

6 . 【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，则________（用含a、b的式子表示）；
【探究发现】如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程．
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
．
．
设，．
……
________（请继续完成以上证明）
【拓展提升】如图4，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图5，在矩形中，若，，点P在边上，则的取值范围为________．

7 . （1）问题解决：如图1，点在一条直线上，，求证：；
（2）问题探究：在（1）的条件下，若点为的中点，求证：；
（3）拓展运用：如图2，在中，，点是的内心，若，求的长．

8 . 折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在中，（如图，怎样证明呢？把沿的平分线翻折，因为，所以点落在上的点处（如图．于是，由，，可得．
【感知】（1）如图2，在中，若，，则______．
【探究】（2）若将图2中是角平分线的条件改成是高线，其他条件不变（图，即在中，，，请探索线段、、之间的等量关系，并说明理由．
【拓展】（3）如图4，在中，，，，点是边上的一个动点（不与、重合），将沿翻折，点的对应点是点．若以、、为顶点的三角形是直角三角形，直接写出的长度______．

9 . 配方法是数学中重要的一种思想方法． 它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）①已知29是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式          ；
②若可配方成（m、n为常数），则          ；
探究问题：
（2）①已知，则          ；
②已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由．
拓展结论：
（3）已知实数x、y满足，求的最值．