5 . 综合与实践
问题情境：
如图，在中，，，点在所在的平面内运动．探究图形间存在的关系．

特例探究：
（1）如图，当点在边上运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，，发现，请说明理由；
拓展探究；
（2）如图2，点和分别为和的中点，点在外部时，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，和，判断与的数量关系，并证明；
求异探究：
（3）如图3，当点在的延长线上时，连接， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，，直接写出的长．

6 . 【教材呈现】
人教版八年级下册数学教材第68页第8题如下：如图1，是一个正方形花园，是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组发现探究图形中互相垂直的线段之间的数量关系是一个常见问题，于是对上面的问题又进行了拓展探索，内容如下：
【类比分析】
（1）如图2，在矩形中，点E是上一点，连接，过点A作的垂线交于点F，垂足为点G，若，，求的长．
【迁移探究】
（2）如图3，在中，，，点D是上一点，连接，作交于点E，求证：．
【拓展应用】
（3）如图4，在中，，，，作点A关于的对称点D，点E为上一点，连接，过点D作的垂线，交于F，垂足为G，若E为中点，则_________．

9 . 如图1，在正方形中，点E是边上一点，F为的中点，将线段绕点F顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．

【特例分析】当点E与点B重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：

	思路一	思路二
第一步	如图2，连接，，证明；	如图3，将线段绕点F逆时针旋转至，连接，证明；
第二步	利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．	利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．
图形表达

（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；
【深入探究】（2）如图1，当点E与点B不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；
【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．

10 . 综合探究
【初步探究】如图1，在正方形中，点E是边上一点（不与B，C重合），于点G，交对角线于点H，交于点F．为了探究与之间的数量关系，在如图2中，作，交的延长线于点M．
（1）如图2，①求证：；②当，时，求证：；
【类比迁移】（2）如图3，在矩形中，，，，于点G，交于点H，交于点F．求的值；
【拓展应用】（3）如图4，在等边三角形中，，E是的中点，，交于点G，交于点F．请直接写出的值．