2 . 综合与实践
【提出问题】
在一次数学活动课上，老师提出这样一个问题：如图，正方形中，点是射线上的一个动点，过点作交正方形的外角的平分线于点．求证：．

                 

（1）如图1，当点在边上时，小明的证明思路如下：
在上截取，连接．
则易得，，______．
．．
补全小明的证明思路，横线处应填______．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．求证：；
【拓展应用】
（3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，请求出线段的长．

3 . 综合与实践：
函数复习课后，数学兴趣小组的同学们对函数的图象与性质进行探究，过程如下．请完成探究过程：
(1)初步感知：函数的自变量取值范围是__________；
(2)作出图象
①列表：

x	…											0	1	2	3	…
y	…			2	3	4	m	6					0			…

填空：表中__________，__________；
②描点，连线：在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，并根据描出的点，可画出该函数的图象如下所示；

(3)研究性质
小明观察图象，发现这个图象为双曲线，结合反比例函数的知识，小明将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来．已知反比例函数是中心对称图形，对称中心为，结合小明的分析，可知函数的对称中心为__________；
(4)拓展应用
已知当时，关于的方程有实数解，请直接写出k的取值范围是__________．

4 . 如图1，将两个完全相同的三角形纸片和重合放置，其中，．

(1)操作发现
如图2，固定，使绕点C旋转，当点D恰好落在边上时，填空：
①线段与的位置关系是       ；
②设的面积为，的面积为，则与的数量关系是       ．
(2)猜想论证
当绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中与的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了和中边上的高，请你证明小明的猜想．
(3)拓展探究
已知，点D是角平分线上一点，，交于点E（如图4）．若在射线上存在点F，使，请直接写出相应的的长

5 . 在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能．
(1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角．
问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确．
聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程．

证明： 如图1所示，，，是的三个内角， 过点A作
∵（已知）
∴（理由：     ①      ）
∵（理由：     ②      ），
∴（理由：     ③      ）
(2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用．
对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是的三个内角， 延长到E， 过点B作．请你按照小亮同学的解答思路证明 ．

(3)由（1）和（2），你能得出什么结论？           

6 . 定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、线为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”，即．

(1)【尝试初探】：
点______ “美好点”（填“是”或“不是”）；
(2)【深入探究】：
若“美好点”在双曲线（，且为常数）上，求的值；
(3)【拓展延伸】：
在（2）的条件下，在双曲线上，求的值．

7 . 【问题提出】
在数学兴趣小组的研讨中，小明提出自己遇到的问题：解不等式．
【问题探究】
数学老师启发小明尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，分别画出函数和函数的图象，从函数角x度看，解不等式相当于求双曲线在抛物线上方的点的横坐标的取值范围．

（1）观察图1，可知两个图象的交点坐标为______，所以的解集为______．
【类比探究】
（2）受此启发，小明尝试解不等式．经过分析，小明发现需要借助函数和函数______的图象来求解．请在图2中画出相应的函数图象，并得出不等式的解集为______．
【拓展应用】
（3）小明想借助函数图象进一步研究不等式，于是尝试解不等式组，并进行了一些准备，如图3所示．请根据小明的思路分析，直接写出该不等式组的解集______．

8 . 【知识生成】：
通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式图①，从边长为的长方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开：拼成图②的长方形．（用字母表示）．

（1）比较图①图②两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式              ．
如图3大正方形的面积有两种表示方法可以说明公式：              ．
【问题探究】：
（2）①已知，，则的值为              ．
②如图 3，已知，，求的值．
【拓展计算】：
（3）

9 . 综合与探究：“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时，要适当添加平行线将其补充完整．把“非基本图形”转化为“基本图形”，这体现了数学中的转化思想．有这样一个问题：
如图：，点、分别在直线、上，点是、之间的一个动点．

(1)【问题解决】如图①，当点在线段左侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
(2)【问题迁移】如图②，当点在线段右侧时，请写出、、之间的数量关系，并说明理由．
(3)【联想拓展】若、的平分线交于点，且，则______．

10 . 综合与实践
【问题情境】
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．
（1）试判断和的位置关系，并说明理由．
【实践探究】
（2）“勤学小组”受此问题启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．
【拓展探究】
（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中， D 为 内一点，当，，时，求线段的长．