1 . 如图，已知线段．求作：的垂线，使它经过点A．

下面是小军设计的“过线段端点作这条线段的垂线”的尺规作图过程．
作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交线段的延长线于点C；
②分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于直线BC上方的点D；
③作直线．所以直线就是所求作的垂线．
根据小军设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)证明这种作法的正确性（即求证）．

2 . 如图，中，，
   
(1)求作的外接圆：（要求，尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，补全图形并证明，连接，过作，交的延长线于点．求证：是的切线．

3 . 下面是小玲设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：直线l及直线l外一点P．
求作：直线，使得．
作法：如图所示．

   
①在直线l上取一点O，以点O为圆心，长为半径在直线l上方画半圆，交直线l于A，B两点；
②连接，以点B为圆心，长为半径画弧，交半圆于点Q；
③作直线．
所以直线就是所求作的直线．
   
根据小玲设计的尺规作图过程，解决问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接和，
∵，
∴______，
∴（____________）（填推理的依据），
∴．

4 . 学习完四边形的知识后，小明想出了“作三角形一边中线”的另一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：如图，
①分别以点、为圆心，、长为半径在BC的下方作弧，两弧相交于点；
②作直线，与交于点，所以线段就是所求作的中线．

根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：连接，．
∵，　　          ，
四边形是平行四边形　　                          （填推理的依据）．
∴            （                                  ）（填推理的依据）．
是边上的中线．

5 . 阅读下面的材料：
已知中，，在AC上确定一点P，使得．
下面是小方设计的尺规作图过程：
作法：如图，

①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，点N，作直线，直线交于点P；
②连接．
所以点P即为所求．
根据小方设计的尺规作图过程．

(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的垂直平分线，直线交于点P，
∴___________（___________）（填推理的依据）．
∵，
∴．
∴点P即为所求．

6 . 小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在中，．
求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．
作法：如图，

①作直角边的垂直平分线，与斜边相交于点；
②作直线．
所以直线CD就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：∵直线是线段的垂直平分线，点在直线上，
∴．（       ）（填推理的依据）
∴      ．
∵，
∴，
       ．
∴．
∴．（       ）（填推理的依据）
∴和都是等腰三角形．

7 . 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．小迪同学在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”

(1)请你用尺规作图，在图中作出线段的中点，并连接．（保留作图痕迹）
(2)请你结合图形，将小迪猜想的命题写成已知、求证．
已知：                 
求证： 为直角三角形．
(3)补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点是线段的中点，
∴                 ，
又∵，
∴，
在中，∵，
∴，（___________）（填推理的依据），
同理，在中，          =           ．
在中
∵．
∴           ＋         ，
∵在中，
∴在中， ，
∴为直角三角形．

8 . 下面是小李同学设计的“利用直角三角形和它的斜边中点作矩形”的尺规作图过程：
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O为AC的中点．
求作：四边形ABCD，使得四边形ABCD为矩形．
作法：①作射线BO，在线段BO的延长线上取点D，使得DO＝BO．
②连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
根据小李设计的尺规作图过程：

(1)使用直尺和圆规，在图中补全图形．（保留作图痕迹）
(2)请你根据小李同学的作法，说明四边形ABCD为矩形的理由．

9 . 下面是小芸设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
根据小芸设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）AP是线段MN的 　 　．（填下列选项的序号）
①垂直平分线
②角平分线
点P在这条线上的依据是 　 　．

10 . 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（       ）

A．两组对边分别平行	B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分	D．一组对边平行且相等