1 . 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为
，取一点
，连接
，作线段的垂直平分线
，过点B作x轴的垂线
，记，的交点为P.
(1)当
时，在图中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
(2)小明多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现这些点P竟然在一条曲线L上. 设点P的坐标为
，试求y与x之间的关系式；
(3)①设点P到x轴，y轴的距离分别为
，
，则
的范围是 ；当
时，点P的坐标为 ；
②将曲线L在直线
下方的部分沿直线向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线
与这条“W”形状的新曲线有4个交点，则k的取值范围是 .
，取一点，连接，作线段的垂直平分线，过点B作x轴的垂线，记，的交点为P. (1)当
时，在图中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)小明多次取不同数值b，得出相应的点P，并把这些点用平滑的曲线连接起来，发现这些点P竟然在一条曲线L上. 设点P的坐标为
，试求y与x之间的关系式；(3)①设点P到x轴，y轴的距离分别为
，，则的范围是 ；当时，点P的坐标为 ；②将曲线L在直线
下方的部分沿直线向上翻折，得到一条“W”形状的新曲线，若直线与这条“W”形状的新曲线有4个交点，则k的取值范围是 .
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2 . 下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程：
已知：
．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图：
①在的两边上分别任取一点A、B；
②以点A为圆心，
为半径画弧；以点B为圆心，
为半径画弧；两弧交于点
；
③连结
、
．
所以
即为所求作的角．
请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明．
证明：连结
，
∵DA=AC，DB=_____，AB=_______，
∴△DAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠D．
已知：
．求作：一个角，使它等于
．作法：如图：
①在
的两边上分别任取一点A、B；②以点A为圆心，
为半径画弧；以点B为圆心，为半径画弧；两弧交于点；③连结
、．所以
即为所求作的角．请根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下列证明．
证明：连结
，∵DA=AC，DB=_____，AB=_______，
∴△DAB≌△CAB （ ）（填推理依据）．
∴∠C=∠D．
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2022-08-03更新
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96次组卷
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4卷引用：吉林省松原市乾安县2021-2022学年八年级上学期期末数学试题
名校
3 . 如图，在平行四边形ABCD中AD＞AB．
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BC
AD，
∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
(2)在（1）所作图形中，连接BE，求证：四边形BEDF是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）．
证明：∵DF平分∠ADC，
∴
∵在平行四边形ABCD中，BC
AD，∴
∴∠CDF＝∠CFD，
∴CD＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵AE＝AB，
∴AE＝CF．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即
又∵
∴四边形BEDF是平行四边形．
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2022-04-29更新
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2162次组卷
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14卷引用：2023年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县前郭一中、前郭三中、前郭蒙中中考第三次三模数学试题
2023年吉林省松原市前郭尔罗斯蒙古族自治县前郭一中、前郭三中、前郭蒙中中考第三次三模数学试题2022年重庆市第八中学校九年级下学期第一次全真模拟考试数学试题2022年重庆市第八中学中考一模数学试题重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题重庆市溱州中学教育集团2021-2022学年九年级下学期规范化训练（三）数学试题2023年福建省福州第一中学中考数学一模试卷 重庆市合川区合阳中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）数学（中考新题型预测卷，重庆卷）-学易金卷：2023年中考第一次模拟考试卷（已下线）专题25 尺规作图+补全证明过程（35道）-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（重庆专用）重庆市巴南区2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）2023年福建一模（几何综合）重庆市綦江区未来学校联盟2023-2024学年九年级上期期中考试数学试题重庆市第八中学2023-2024学年九年级上学期数学期末模拟试题（已下线）中考重点01 尺规作图+补全证明过程（5题型+满分技巧+限时检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（重庆专用）
名校
4 . 某校六年级200名学生参加了环保知识竞赛，已知竞赛得分都是整数，满分100分．随机抽取了部分学生的竞赛成绩作为一个样本，数据整理后分成6个小组，画出竞赛成绩的频数分布直方图，如图1所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），同时画出竞赛成绩等第的扇形统计图，如图2所示（设竞赛成绩为a分，
为不合格、
为合格，
为良好，
为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与
的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
为不合格、为合格，为良好，为优秀）．根据图中的信息回答下列问题：
(2)小明对统计图进行了研究，得出了如下结论：
①中位数一定落在80分—90分这一组内；
②众数一定落在80分—90分这一组内；
③仍有不合格的学生，该校环保知识宣传需进一步加强；
④从这两个统计图中能准确求出样本的平均数．
上述结论中错误的是________（填序号）．
(3)估计本次六年级参赛学生中荣获优秀的共有m人．学校“环保社团”决定：这m名学生都光荣的成为学校的小小环保“宣传员”，从中选派x人帮助本年级参赛得分60分以下的学生普及环保知识．经计算，x与
的积恰好等于样本容量的15倍．你认为x的值取多少比较合理，为什么？
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2024-04-16更新
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416次组卷
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5卷引用：数学（吉林卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷
数学（吉林卷）-【试题猜想】2024年中考考前最后一卷2024年上海市浦东新区中考二模数学试题2024年江苏省南通市崇川区中考一模数学模拟试题（已下线）专题09 统计与概率（7大热点题型）（含24年上海最新模拟题）-2024年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（上海专用）2024年福建省厦门市湖里区五缘实验学校中考二模数学试题
5 . 下面是小明设计的“作一个含
角的直角三角形”的尺规作图过程．
已知：如图，直线
及直线上一点
．
， 使得
，
．
①在直线上取点；
②分别以点
为圆心，长为半径画弧，交于点
；
③作直线
，交直线于点
；
④连接．
就是所求作的三角形．
根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接，
，
．
，
是等边三角形．
．
，
点
在线段的垂直平分线上(①）(填推理的依据）．
．
．
(②）(填推理的依据）．
．
角的直角三角形”的尺规作图过程．已知：如图，直线
及直线上一点．
， 使得，．
①在直线
上取点；②分别以点
为圆心，长为半径画弧，交于点；③作直线
，交直线于点；④连接
．就是所求作的三角形．根据小明设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接
，，．，是等边三角形．． ，点在线段的垂直平分线上(①）(填推理的依据）．． ．(②）(填推理的依据）．．
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2021-01-25更新
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192次组卷
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4卷引用：吉林省白山市江源区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题
吉林省白山市江源区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（已下线）吉林省白山市临江市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题北京市丰台区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题 河南省濮阳市范县2023-2024学年八年级上学期期中数学试题
6 . 如图，在直角三角形
中，
，点D在射线
上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为
，设运动时间为x秒时，对应的
的面积为
．
(1)填写如表：
(2)在点D的运动过程中，出现为等腰三角形的次数有_______次，请用尺规作图，画出（保留作图痕迹，不写画法）；
(3)求当x为何值时，的面积是
的面积的
．
中，，点D在射线上从点C出发向点A方向运动（点D不与点A重合），且点D运动的速度为，设运动时间为x秒时，对应的的面积为．(1)填写如表：
| 时间x秒 | … | 2 | 4 | 6 | … |
面积y | … |  | ______ | _______ | … |
(2)在点D的运动过程中，出现
为等腰三角形的次数有_______次，请用尺规作图，画出（保留作图痕迹，不写画法）；(3)求当x为何值时，
的面积是的面积的．
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名校
7 . 下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
已知：如图，⊙O及⊙O上一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，作射线OP；
① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B；
②连接并延长BA与⊙A交于点C；
③作直线PC；
则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明：
证明：∵ BC是⊙A的直径，
∴ ∠BPC=90° （填推理依据）．
∴ OP⊥PC．
又∵ OP是⊙O的半径，
∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）．
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2020-03-19更新
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920次组卷
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24卷引用：吉林省松原市乾安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
吉林省松原市乾安县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（已下线）吉林省松原市宁江区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题【区级联考】北京市海淀区2019届九年级第一学期期末数学试题北京市西城区第八中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题北京市西城区师范大学附属中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试题江苏省南京市南京民办求真中学2019-2020学年九年级上学期第一次月考数学试题北京八中2019-2020九年级上学期期中数学试题北京22中、21中联盟校2019-2020学年九年级下学期5月模拟数学试题北京市三帆中学2020-2021学年度第一学期期中考试初三数学卷北京—零一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题北京市第十四中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（已下线）北京市第四中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题北京市师达中学2021-2022学年九年级上学期12月阶段性练习数学试题北京市海淀区师达中学2021-2022学年九年级上学期12月月考数学试题北京市东城区广渠门中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试卷北京市第五十七中学2022-2023学年九年级上学期12月数学月考试卷北京市人大附中航天城学校2022-2023学年九年级上学期数学期末模拟试卷北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题北京市铁路第二中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题北京市第五十七中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题北京师范大学附属实验中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学试题北京二中教育集团2023—2024学年九年级下学期月考数学试题北京市第二中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题
真题
名校
8 . 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C，使得四边形
为平行四边形．图1~图3是其作图过程．
在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
，利用尺规作图找一点C，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．| （1）作的垂直平分线交于点O；
| （2）连接 ，在的延长线上截取 ；
| （3）连接 ，，则四边形即为所求．
|
| A．两组对边分别平行 | B．两组对边分别相等 |
| C．对角线互相平分 | D．一组对边平行且相等 |
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2023-06-23更新
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3052次组卷
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26卷引用：吉林省长春市博硕学校2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题
吉林省长春市博硕学校2023-2024学年九年级下学期第二次月考数学试题2023年河北省中考数学真题（已下线）专题14 多边形与平行四边形-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题16 作图与图形变换-学易金卷：5年（2019-2023）中考1年模拟数学真题分项汇编（全国通用）云南省昆明市师大实验建设路校区2023-2024学年九年级上学期开学考数学试题（已下线）2023年河北省中考数学真题变式题6-10题山东省烟台市海阳市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2023-2024学年度九年级下学期开学考试数学试题（已下线）第6讲 多边形与平行四边形黑龙江省哈尔滨市香坊区第三十九中学2023-2024学年九年级下学期开学测数学(五四制)试题（已下线）专题18.5 平行四边形（直通中考）（基础练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）福建省厦门市音乐学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题2024年辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学一模数学模拟试题2024年广东省中山市中考一模联考数学试题（已下线）热点09 尺规作图（7大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）山东省临沂市莒南县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题河北省石家庄市平山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题15 四边形综合（一）（五大热点题型归纳）-2024年中考数学二轮热点题型归纳与变式演练（云南专用）山东省德州市夏津县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题河北省石家庄市平山县三汲乡三汲中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题2024年山东省枣庄市山亭区第二次初中学业水平模拟考试数学试题2024年黑龙江哈尔滨市虹桥初级中学中考三模数学试题河北省邯郸市汉光中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题（已下线）专题6.14 平行四边形（全章直通中考）（基础练）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）广东省广州市铁一中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题2024年广东省深圳市光明区公明中学中考三模数学试题
名校
9 . 下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图1，
及上一点P.
求作：直线PQ，使得PQ与相切.
作法：如图2，
①连接PO并延长交于点A；
②在上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作
，与射线PO的另一个交点为C.
③连接CB并延长交于点Q.
④作直线PQ；
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图的过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CQ是的直径，
∴
________
（________________）（填推理的依据）
∴
.
又∵OP是的半径，
∴PQ是的切线（________________）（填推理的依据）
已知：如图1，
及上一点P.求作：直线PQ，使得PQ与
相切.作法：如图2，
①连接PO并延长交
于点A；②在
上任取一点B（点P，A除外），以点B为圆心，BP长为半径作，与射线PO的另一个交点为C.③连接CB并延长交
于点Q.④作直线PQ；
所以直线PQ就是所求作的直线.
根据小石设计的尺规作图的过程.
（1）使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：∵CQ是的
直径，∴
________（________________）（填推理的依据）∴
.又∵OP是
的半径，∴PQ是
的切线（________________）（填推理的依据）
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2020-01-15更新
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554次组卷
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9卷引用：2022年吉林省吉林市大学区中考第五次联考数学试题（A卷）（一模）
10 . 如图，在中，
，
的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E．
(1)请画出
的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：是的切线；
中，，的平分线交于点D，过点D作的垂线交于点E． (1)请画出
的外接圆（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：
是的切线；
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2023-01-04更新
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294次组卷
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4卷引用：吉林省吉林市蛟河市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
