1 . 综合与实践
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线
，使得
．小明同学设计的做法如下：
①在直线l上取两点B、C，连接
，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段
于点E；
②分别以点D和E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在
内交于点F，作射线BF；
③以点A为圆心，的长为半径作弧，交射线
于点P，作直线．
则直线平行于直线l．
（1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【验证证明】
（2）请证明直线；
【拓展延伸】
（3）已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接
，
，请直接写出
与
的面积关系_______；
【应用实践】
（4）某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形
空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，
，
km，
km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形
的面积为20km2，则
______km．
【动手操作】
数学活动课上，老师让同学们探究用尺规作图作一条直线的平行线．已知：如图1，直线l及直线l外一点A．求作：直线
，使得．小明同学设计的做法如下：①在直线l上取两点B、C，连接
，以点B为圆心，小于的长度为半径作弧，交线段于点D，交线段于点E；②分别以点D和E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线BF；③以点A为圆心，
的长为半径作弧，交射线于点P，作直线．则直线
平行于直线l．（1）根据小明同学设计的尺规作图过程，在图2中补全图形；（要求：尺规作图并保留作图痕迹）
【验证证明】
（2）请证明直线
；【拓展延伸】
（3）已知：如果两条直线平行，则其中一条直线上任意两点到另外一条直线的距离相等．在图2中连接
，，请直接写出与的面积关系_______；【应用实践】
（4）某市政府为发展新能源产业，决定在如图3所示的四边形
空地上划出20km2区域用于建设新能源产业发展基地．已知在四边形中，，km，km．为便于运营管理，某公司向政府提出在线段上取一点E使得四边形的面积为20km2，则______km．
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2 . 下面是小明设计“作三角形一边上的高”的尺规作图和证明过程．
已知：中，
，求作：的边上的高
．
作法：（1）分别以点B和点C为圆心．
为半径作弧，两弧相交于点E．
（2）作直线
交边于点D．
所以线段就是所求作的高．
证明：连接
，
∵
，
∴点B在线段的垂直分线上（依据：）
同理可证，点C也在线段，的垂直平分线上
∴垂直平分，
∴是的高．
(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规．补全图形 （保留作图痕迹）；
(2)小明证明过程中的依据 是：______．
(3)善于思考的小明提出了这样一个问题，若
，
，的长度又是多少呢？请你帮助小明完成解答过程 ．
已知：
中，，求作：的边上的高．作法：（1）分别以点B和点C为圆心．
为半径作弧，两弧相交于点E．（2）作直线
交边于点D．所以线段
就是所求作的高．证明：连接
，∵
，∴点B在线段
的垂直分线上（依据：）同理可证，点C也在线段，
的垂直平分线上∴
垂直平分，∴
是的高．(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规．
(2)小明证明过程中的
(3)善于思考的小明提出了这样一个问题，若
，，的长度又是多少呢？请你帮助小明
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2023-11-02更新
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65次组卷
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3卷引用：2023年广东省肇庆市广宁县中考三模数学试题
3 . 下面是小明同学设计的“已知一组邻边构造平行四边形”的尺规作图过程．
已知：如图，线段
．求作：平行四边形．
作法：①分别以A、C为圆心，
的长为半径画弧，两弧交于点D；
②连接
．四边形即为所求作的平行四边形．
(1)请你使用直尺和圆规，帮助小明补全尺规作图过程（保留作图痕迹）；
(2)证明上述作法所得的四边形是平行四边形．
已知：如图，线段
．求作：平行四边形．作法：①分别以A、C为圆心，
的长为半径画弧，两弧交于点D；②连接
．四边形即为所求作的平行四边形． (1)请你使用直尺和圆规，帮助小明补全尺规作图过程（保留作图痕迹）；
(2)证明上述作法所得的四边形
是平行四边形．
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2023-08-12更新
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28次组卷
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2卷引用：广东省珠海市梅华中学2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题
4 . 数学课上，王老师布置如下任务：
如图，已知
，点
是射线
上的一个定点，在射线
上求作点
，使
．
下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段的垂直平分线
，直线交射线于点
；
②以点为圆心，
长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求．
根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)根据以上做法，证明：．
如图，已知
，点是射线上的一个定点，在射线上求作点，使．下面是小路设计的尺规作图过程．
作法：①作线段
的垂直平分线，直线交射线于点；②以点
为圆心，长为半径作弧，交射线于另一点，则点即为所求．根据小路设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)根据以上做法，证明：
．
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5 . 已知正方形
，将边
绕点
顺时针旋转
至线段
，
的平分线所在直线与直线
相交于点
．为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：
；
(2)在（ 1 ）的条件下 ，
①
的度数为________；
②连接
，猜想线段和之间的数量关系，并证明；
(3)若正方形的边长
，当以点，，，
为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
，将边绕点顺时针旋转至线段，的平分线所在直线与直线相交于点．
为锐角时，请先用“尺规作图”作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法），再依题意补全图形，求证：；(2)
①
的度数为________；②连接
，猜想线段和之间的数量关系，并证明；(3)若正方形的边长
，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出线段BE的长度．
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2023-05-25更新
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280次组卷
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4卷引用：2023年广东省深圳市蛇口育才教育集团育才三中中考二模数学试题
6 . 欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点
是已知点，圆
是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接
，作线段的中点；
②以为圆心，以
为半径作圆，与圆交于两点
和
；
③连接
、
，则、是圆的切线．
(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
(3)如图2，连接
并延长交圆于点，连接
，已知
，
，求圆的半径．
如图1，设点
是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：①连接
，作线段的中点；②以
为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；③连接
、，则、是圆的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“
、是圆的切线”的过程；(3)如图2，连接
并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．
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7 . 下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形．
（点E在上，点F在上）．
作法：①以点A为圆心，长为半径作弧，交于点F；
②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E；
③连接
．
所以四边形为所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
(2)完成下面的证明．
证明：∵
，
，
∴______=______．
在
中，
．
即
，∴四边形为______形．
∵，∴四边形为菱形（______）（填依据）
是平行四边形．
（点E在上，点F在上）．作法：①以点A为圆心，
长为半径作弧，交于点F；②以点B为圆心，
长为半径作弧，交于点E；③连接
．所以四边形
为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）．
(2)完成下面的证明．
证明：∵
，，∴______=______．
在
中，．即
，∴四边形为______形．∵
，∴四边形为菱形（______）（填依据）
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2023-04-28更新
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235次组卷
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13卷引用：广东省佛山市惠景中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
广东省佛山市惠景中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题广东省佛山市禅城区惠景中学2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题2019年北京市东城区中考数学二模试卷（已下线）专题12 图形的性质之解答题（1）《备战2020年中考真题分类汇编》（北京）北京市22中 21中联盟校2019-2020学年九年级下学期3月阶段性检测数学试题2020年北京二十二中、二十一中联盟校中考数学3月模拟试题北京市东城区2018-2019学年九年级下学期统一测试（二）数学试题（已下线）专题03 尺规作图依据题-决胜2020年中考数学压轴题全揭秘精品（北京专用）北京交通大学附属中学2019-2020学年八年级下学期期末数学试题北京市八一学校2022~2023学年八年级下学期期中数学试卷北京市第一七一中学2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷北京市陈经纶中学分校望京实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题北京市平谷区第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
8 . 下面是小芸设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：
及外一点；求作：过点作切线．
作法：①连接，作的垂直平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作圆，交于点
、
两点；
③作直线
、
，则、即为的切线．
根据小芸设计的尺规作图过程：
(1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明：为的切线．
已知：
及外一点；求作：过点作切线．作法：①连接
，作的垂直平分线，交于点；②以
为圆心，长为半径作圆，交于点、两点；③作直线
、，则、即为的切线．根据小芸设计的尺规作图过程：
(1)用直尺和圆规，在图中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)证明：
为的切线．
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9 . （1）尺规作图：过点A作直线l的垂线．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接（路径最短）；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知
．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明．
作法如下：
①以点A为圆心，a为半径作弧交直线l于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，a长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连接
（路径最短）；
ii作图依据为______________
（2）画一画，想一想：如图，已知
．你能用手中的三角板作出的角平分线吗？写出作法，并证明．
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2023-02-18更新
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147次组卷
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6卷引用：广东省湛江市遂溪县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题
广东省湛江市遂溪县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题河北省廊坊市香河县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题13.9 轴对称章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（人教版）（已下线）专题2.14 特殊三角形章末十八大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）（已下线）专题13.12 全等三角形章末十三大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（华东师大版）（已下线）专题15.9 轴对称图形与等腰三角形章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年八年级数学上册举一反三系列（沪科版）
10 . 如图，已知中，，
．D是内的一点，且
，
．
(1)
_______°；
(2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)求
的度数．
中，，．D是内的一点，且，．(1)
_______°；(2)依题中的条件用尺规作图补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)求
的度数．
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