1 . 如图，在四边形
中，
，
．
上截取
，连接
，作
的角平分线
，分别交
于点F、G，连接
．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：
．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵是的角平分线，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴
，
∴ ，
又∵，
∴ ，
∴四边形
是平行四边形，
∴．
中，，．
上截取，连接，作的角平分线，分别交于点F、G，连接．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作图形中，求证：
．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证明：∵
是的角平分线，∴ ，
∵
，∴ ，
∴
，∴ ，
又∵
，∴ ，
∴四边形
是平行四边形，∴
．
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2 . 如图，四边形是平行四边形．
的角平分线，交于点E；在线段
上截取．
，连接
；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（2）所作图中，证明四边形
是菱形．请完成下面的填空，补全证明过程．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴ ①
∴
，
∵平分，
∴
∴
②
∴
③
，
，
又∵
，
∴四边形是 ④ ，
∵
，
∴四边形是菱形．
是平行四边形．
的角平分线，交于点E；在线段上截取．，连接；（不写作法，保留作图痕迹）(2)在（2）所作图中，证明四边形
是菱形．请完成下面的填空，补全证明过程．证明：∵四边形
是平行四边形，∴ ①
∴
，∵
平分，∴
∴
② ∴
③ ，，又∵
，∴四边形
是 ④ ，∵
，∴四边形
是菱形．
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3 . 如图，在菱形中，对角线
、
相交于点
．
(1)尺规作图：在
的延长线上截取
，连接
，再过点
作的垂线交于点
（保留作图痕迹，不写作法）；
为矩形．（补全证明过程）
证明：
四边形是菱形
，
① ，
为
的中位线
②
③
四边形为矩形．（ ④ ）
进一步研究上述问题发现，当和
满足位置关系： ⑤ 时，四边形为正方形．
中，对角线、相交于点．(1)尺规作图：在
的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
为矩形．（补全证明过程）证明：
四边形是菱形， ① ，为的中位线 ② ③ 四边形为矩形．（ ④ ）进一步研究上述问题发现，当
和满足位置关系： ⑤ 时，四边形为正方形．
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4 . 已知四边形是平行四边形，
．的平分线交于点E，在上截取
，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：四边形
是菱形．（补全下列证明过程）
证明：四边形为平行四边形，
，
___________．
平分
，
，
___________．
，
又
，
___________．
又，
四边形为平行四边形，
又___________．
四边形是菱形．
是平行四边形，．
的平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：四边形
是菱形．（补全下列证明过程）证明：
四边形为平行四边形，，___________．平分，，___________．，又
，___________．又
，四边形为平行四边形，又
___________．四边形是菱形．
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5 . 如图，矩形的对角线
交于点O， 
于M．的垂线，垂足为N，连接
、
（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．
(2)补全推理过程：
在矩形中
∵，
∴
∵，
∴
即 ，
∴ ；
在
和
中，
∴
∴四边形
为平行四边形（ ）．
的对角线交于点O， 于M．
的垂线，垂足为N，连接、（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）．(2)补全推理过程：
在矩形
中∵
，∴
∵
，∴
即 ，
∴ ；
在
和中，∴
∴四边形
为平行四边形（ ）．
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6 . 如图，在
中，
的角平分线交于点D，并在射线上另取一点E（不与A重合），使得
，连接
；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，若D恰为线段的中点，求证；
．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵D为中点
∴
∴在
和
中
∴
∴
∴
，
又∵是的角平分线
∴②
∴
∴③
又∵
∴
由此发现一个结论，请完成下列命题：
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④ ．
中，
的角平分线交于点D，并在射线上另取一点E（不与A重合），使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）所作图形中，若D恰为线段
的中点，求证；．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证明：∵D为
中点∴
∴在
和中∴
∴
∴
，又∵
是的角平分线∴②
∴
∴③
又∵
∴
由此发现一个结论，请完成下列命题：
如果一个三角形的一个内角的角平分线又是对边上的中线，那么④ ．
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7 . 已知四边形为正方形，点
在边上，连接．
(1)尺规作图：过点作
于点
，交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：
．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形，
∴
，
________
，
∴
，
∵，
∴
，
∴
，
∴
________，
在
与
中
，
（ ）里填________
∴
（
），
∴．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且
______的线段长相等．
为正方形，点在边上，连接．(1)尺规作图：过点
作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)求证：
．（请补全下面的证明过程）证明：∵正方形
，∴
，________，∴
，∵
，∴
，∴
，∴
________，在
与中，（ ）里填________∴
（），∴
．通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且
______的线段长相等．
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8 . 如图，在四边形中，，
，上截取
，作
交于点F；
（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：
（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵
∴ ①
∵
∴ ②
∴ ③
∴四边形
为平行四边形
∵
∴ ④
∴
中，，，
上截取，作交于点F；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：
（请补全下面的证明过程，不写证明理由）证明：∵
∴ ①
∵
∴ ②
∴ ③
∴四边形
为平行四边形∵
∴ ④
∴
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2024-03-19更新
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223次组卷
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2卷引用：重庆市江北区鲁能巴蜀中学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题
9 . 已知四边形为正方形，点E在边上，连接．于点H，交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵正方形
∴，
①
∴
∵
∴
∴
∴ ②
在与中
∴
∴
④ ．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等．
为正方形，点E在边上，连接．
于点H，交于点F（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)求证：
．（请补全下面的证明过程）证明：∵正方形
∴
， ① ∴
∵
∴
∴
∴ ②
在
与中∴
∴
④ ．通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且 ⑤ 的线段长相等．
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2024-01-29更新
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206次组卷
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4卷引用：重庆市江北区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
10 . 如图，在矩形中，
是对角线．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交
于点
（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，求证：
（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．
证明：
垂直平分
又四边形是矩形
①______
在
和
中
∴③_______
④______
中，是对角线．(1)尺规作图：作线段
的垂直平分线，分别交于点（用尺规作图，并在图中标明相应的字母，保留作图痕迹）；(2)在（1）的条件下，求证：
（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后）．证明：
垂直平分又
四边形是矩形①______在
和中∴③_______
④______
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