1 . 如图，在四边形中，，．

   

(1)尺规作图：在上截取，连接，作的角平分线，分别交于点F、G，连接．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵是的角平分线，
∴　　　　　，
∵，
∴　　　　　，
∴，
∴　　　　　，
又∵，
∴　　　　　，
∴四边形是平行四边形，
∴．

2 . 如图，四边形是矩形，连接交于点平分交于点．

(1)用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法与结论）
(2)求证：四边形是平行四边形．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴　①　，
∵平分平分，
∴，
∴　②　．
∵在和中，
，
∴，
∴　④　　，
又∵，
∴四边形是平行四边形（　⑤　）．

3 . 请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）
已知：如图，，．
求证：．

证明：∵（已知），
且，（ ① ）
∴．（等量代换）
∴.（ ② ）
∴ ③ ．（两直线平行，同位角相等）
∵，（已知）
∴.（等量代换）
∴．（ ④ ）
∴．（ ⑤ ）

4 . 如图，已知，射线交于点，交于点．

(1)尺规作图：过点（在的上方）作
(2)求证：．
证明：（已知），且，
（________），
，（________）
________
又（已知），
（________）
．

5 . 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．

   

(1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
(2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，

在和中

，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．

6 . 学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点，连接、．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点．
求证：四边形是平行四边形．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴② ，
∴．
∴，．
∴③ ，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．

7 . 如图，在平行四边形中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：

(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，①_______________．
∴②_______________．
∵分别平分．
∴，．
∴③_________________
∵在与中，
∵，
∴．
∴，④_________________．
∴，即，
∴⑤________________．
∴四边形为平行四边形．

8 . 如图，于点，于点， ，求证：．

证明：（已知），
∴ （垂直的定义），
        ①        （                                ）
∴        ③         （两直线平行，同旁内角互补）
（已知），
（                                ）
（内错角相等，两直线平行）
（                                ）

9 . 思考：我们知道，菱形的对角线互相垂直，反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

(1)为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），请你根据图形写出已知和求证，并完成证明过程．
已知：　　　　　　　　，求证：　　　　　　　．
证明：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
(2)如图2，在平行四边形 中，对角线和相交于点O，，，．求证：平行四边形是菱形．

10 . 如图，四边形是平行四边形，于E．

（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴①____________，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴②____________，，
∴③____________．
在和中，
，
∴，
∴④____________，
又∵，
∴四边形是⑤____________；（⑥____________）（填推理的依据）
∴．