1 . 已知矩形中，、分别是、的中点，、分别是线段、的中点．

(1)求证：；
(2)判断四边形是_______（只写结论，不需证明）；
(3)在（1）（2）的前提下，当等于多少时，四边形是正方形，并给予证明．

2 . （1）如图，已知，射线交于点F，交于点D，从D点引一条射线DE，

若，求证：．
要求：请阅读如下的证明过程，把证明过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴______（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴
∴      （                        ）
∴        （                        ）
∵        （对顶角相等．）
∴（等量代换）
（2）如图，已知，垂足为B，，，试证明平分．

3 . 请将下列推理过程补充完整．

(1)如图1，已知．求证：．
证明：
∵（已知），
又（_______），
∴（等量代换）．
∴（_______）．
∴（_______）．
(2)如图2，已知分别交，于点，，，，求证：．
证明：
∵（已知），
∴（_______）．
∴（_______）．
∵（已知），
∴，
即_______＝______（_______）．
∴_______________（________）．
∴（_______）．

4 . 补全证明过程：（括号内填写理由）
如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于、、、，如果，，求证：．

证明：，（已知）   
（______）
   
，（______）   
______，（两直线平行，同位角相等）
又，（已知）
______，（内错角相等，两直线平行）
______，（______）   
．（等量代换）

5 . 完成下面推理过程．
如图：在四边形中，，，于点，于点，求证：
证明：，（已知）

　　 　　
　　 　　
，（已知）
　　
　　 　　
　　 　　
　　

   

6 . 已知是菱形的对角线，，点E是直线上的一个动点，连接，以为边作菱形，并且使，连接．

(1)当点E在线段上时，如图①，求证：．
(2)当点E在线段的延长线上时（如图②），猜想之间的关系并证明；
(3)当点E在线段的延长线上时（如图③），直接写出之间的关系．

7 . 如图，在中，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的角平分线于点E，交的外角平分线于点F．

(1)求证：；
(2)当点O运动到何处时，四边形是矩形？并证明你的结论．
(3)当点O运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？并说明理由．

8 . 已知：如图，直线被直线所截，．
求证：．

   

证明：∵（已知），且（                ），
∴（                ），
∴（                ），
∴（                ），
∵（已知）
∴（                ）
即，
∴（                ）

9 . 推理填空：如图，已知，．
求证：，．
证明：∵（已知），
∴        （       ），
∵（已知），
∴       （      ）．
∴      （       ）．
∴       （       ）．
∵（已知），
又∵（       ），
∴（       ）．