1 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．

3 . 如图，的平分线交于点，交线段的延长线于点．求证：．
请将下面证明过程中的横线补充完整：

证明：，
．（依据：______）
平分，
．（依据：______）
，
，
______．（依据：等量代换）
______．（依据：______）
．（依据：______）

4 . 【课本再现】

思考 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？

【定理证明】
（1）如图1，已知：在中，对角线、相交于，且，求证：是矩形．
【知识应用】
（2）如图2，是的中线，，且，连接，．
①求证：；
②当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．

7 . 课本再现：
（1）如图1，分别是等边三角形的两边上的点，且．求证：．下面是小涵同学的证明过程：
证明：是等边三角形，
．
，
，
．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论：的度数是______；
迁移应用：
（2）如图2，将图1中的延长至点，使，连接．利用（1）中的结论完成下面的问题．
①求证：；
②若，试探究与之间的数量关系．

8 . 如图，在四边形中，点在的延长线上，平分，平分，过点作于点，于点．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)添加一个条件__________，使四边形是正方形（写出证明过程）．

9 . 如图1．，点，点分别在射线，上，且．

   

(1)求证：；
(2)如图2，连接，作，交于点，将沿方向水平向右平移．在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请求出它们之间的数量关系，并证明：若变化，试说明理由．