1 . 如图，在三角形中，，垂足为点是三角形外角的平分线，，垂足为点．

(1)求证：四边形为矩形；
(2)当三角形满足什么条件时，四边形为正方形？（不用证明）

3 . 若一直线与圆相交，过交点作圆的切线，则此切线与直线的夹角称为直线和圆的交角，其中所夹弧为劣弧的角为劣交角，所夹弧为优弧的角为优交角．直线和圆的交角有以下性质：直线和圆的交角等于所夹弧所对的圆周角．

(1)为了说明直线和圆的交角性质的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整（只证明劣交角即可）．
已知：如图1，直线与相交于点，过点作的切线，点为上任一点，连接．求证： ______．
(2)如图2，直线与相交于，为的直径，切于点，交的延长线于点，若，，求的半径．

4 . 如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作．

(1)求证：
(2)若与交于点G，试证明平分；

5 . 如图，已知D是内一点，．求证：．小红的解答如下：

证明：在和中，
∵，
∴．……第一步
∴．……第二步​
(1)小红的证明过程从第           步开始出现错误；
(2)请写出你认为正确的证明过程．

7 . 在中，，，是的角平分线，于点E，连接．
   
(1)如图1，求证：是等边三角形；
(2)如图2，M为线段上一点，连接，作等边三角形，连接，求证：；
(3)如图3，P为线段上一点，连接，作，交的延长线于点Q，探究线段，与之间的数量关系，并证明．

8 . 下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形中，过点作于点，点在边上，，连接，求证：四边形是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明与全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
   
(1)请你选择一位同学的思路，并进行证明；
(2)若，，求的长．

9 . 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，于点，求证：．小明利用条件，在上截取，连接，既构造了等腰，又得到，从而命题得证．

(1)动手操作：根据题意，利用尺规将图1补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)探索证明：根据阅读材料，证明：；
(3)探索拓广：参考小明的方法，解决下面的问题：如图2，在中，，，，请探究与的数量关系，并说明理由．

10 . 过程填空：
如图，和交于点，，，过点作于点，延长交于点，求证：．

证明：
证明：∵______（已知），
∴（______），
∵，（______），
又∵（______），
∴______（______），
∴______（______），
∴______（______），
∴，
∴．