1 . 学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：
用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，交于点，垂足为点．只保留作图痕迹

已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点．
求证：．
证明：四边形是平行四边形，
．
①＿＿＿②
垂直平分，
＿＿＿＿③
又＿＿＿＿④＿＿＿⑤
．
．
小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点＿＿＿⑥

2 . 如图，已知，，D，G 分别是垂足，，
求证：．

请你补全下面的证明过程，并在括号内填写相应的理由．
证明：，，
，
（       ），                      
        （       ），
，
           ，
           （       ），
（       ）．

3 . 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．

(1)求证：
(2)如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

5 . 完成下面的证明．

(1)如图1，和相交于点，，求证．
证明：，（             ）
             ，（             ）
∴             =             ．（             ）
(2)如图2，点D，E，F分别是的边上的点，，求证：．
证明：∵，（             ）
             ，（             ）
，（             ）
             ，（             ）
∴             =             ．（等量代换）

6 . 如图，在矩形中，平分交于点F，连接．

(1)尺规作图：过点F作的垂线，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)小明同学准备在（1）问所作的图形中，求证，他的证明思路是：利用矩形和角平分线的性质，证明三角形全等解决问题．请根据小明的思路完成下列填空：
证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵_____________________
∴
∴
∴_____________________
∵
∴
∵
∴
∴
∵在中，
∴______________________
∴
在和中

∴
∴．

7 . 如图，圆O是四边形的外接圆，是的直径，是的切线，交的延长线于点E．

(1)求证：；（用两种方法证明）
(2)若，，求的长．

9 . 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：

(1)如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
(2)如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；

10 . 如图所示，中，D是边上一点，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于F，且，连接．

(1)求证：D是的中点；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．