1 . 如图，数轴上三点分别表示的数是，点表示的数为．

【阅读材料】在数轴上，数表示的点到原点的距离叫做的绝对值，记为；数轴上数表示的点与数表示的点之间的距离记为（或；数轴上数表示的点到数表示的点与数表示的点的距离之和记为．
【初步应用】
（1）填空：若，则______；若，则______；
【延伸探究】
（2）若点表示的数为，则的最小值是______；
【拓展探究】
（3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点A；动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，当到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，且各自返回到起点时停止运动．求经过多少秒时，点、点之间的距离恰好等于点到点之间的距离．

2 . 在学习了平行四边形后，小高和小新进行了拓展探究：如图，，E是上一点，且．
   
(1)作的平分线交于点F，连接 （尺规作图，保留痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）中作图，小高和小新猜测四边形是菱形，请你帮助她们把证明过程或者推理依据补充完整．
证明：∵平分，
∴                
∵
∴                
∴，
∴，
∵，
∴                 
∴四边形为平行四边形
∵，
∴四边形为菱形（               ）

3 . 【探究】若x满足，求的值．
设，
则，
；

   

【应用】请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足，求的值；
【拓展】
（2）如图，已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，长方形的面积是8，分别以为边作正方形和正方形．
①____________，____________；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．

4 . 在学习了平行四边形后，小王进行了拓展研究，他发现如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形被所作垂直平分线分成面积相等的两部分，他的解决思路是证明所作线构成的三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图和填空：

(1)用直尺和圆规完成作图：作的垂直平分线，交于点，交于点，垂足为点．（只保留作图痕迹）．
(2)在（）中所作的图形中，四边形是平行四边形，是对角线，垂直平分，垂足为点，形状，求证：四边形与四边形面积相等．
证明：四边形是平行四边形
，，，
，
，
_______________，
垂直平分，
________________，
________________，
，
四边形面积面积，
四边形面积面积，
四边形面积四边形面积．
小王进一步探究发现，过平行四边形对角线中点的任意直线与平行四边形所构成的图形均此特征，请依照题意完成下面命题：
过平行四边形对角线中点的直线____________．

6 . 【提出问题】若两个角的两边分别平行，则这两个角有怎样的数量关系？
【解决问题】分两种情况进行探究，请结合下图探究这两个角的数量关系．
（1）如图1，，，试证：；
（2）如图2，，，试证：；
【得出结论】由（1）（2）我们可以得到结论：若两个角的两边分别平行，则这两个角的数量关系为_____________；
【拓展应用】
（3）若两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的2倍少，求这两个角的度数．
（4）同一平面内，若两个角的两边分别垂直，则这两个角的数量关系为_____________．

7 .

(1)方法呈现：如图①：在中，若，点为边的中点，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接，可证，从而把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
(2)探究应用：
如图②，在中，点是BC的中点，于点，交于点，交于点，连接，判断与的大小关系并证明；
(3)问题拓展：
如图③，在四边形中，，与的延长线交于点、点是的中点，若是的角平分线．试探究线段之间的数量关系，并加以证明．

8 . 已知在中，，四边形是正方形，H为所在的直线与的交点．
问题解决：
(1)如图1，当点F在上时，请判断和的关系，并说明理由．
问题探究：
(2)如图2，将正方形绕点C旋转，当点D在直线右侧时，求证：；
问题拓展：
(3)将正方形绕点C旋转一周，当时，若，请直接写出线段的长．
   

9 . 阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．
   
(1)如图，平分，，探究、与之间的关系．
解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）
(2)问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．
(3)问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．

10 . 初步探究：如图1，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，且．探究图中、、之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论是       ．
灵活运用：如图2，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
拓展延伸：如图3，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，仍然满足，请直接写出与的数量关系．