1 . 问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”
即：作一个已知角的平分线．
欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在和上分别取点C和D，使得，连接，以为边作等边，则就是的平分线．
请证明平分；
类比迁移：
（2）小明根据以上信息研究发现：不一定必须是等边三角形，只需即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图2，在的边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线是的平分线，请说明此做法的理论依据是______；
拓展实践：
（3）小明将研究应用于实践．如图3，校园的两条小路和，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请在对应的示意图4中画出路灯E的位置，并说明图中所画各组线段的数量关系．

2 . 综合与实践
【课本再现】在一次课题学习活动中，老师提出如下问题：如图，四边形是正方形，点上边的中点，，且交正方形外角平分线于点．请你探究与存在怎样的数量关系，并证明你的结论．
经过探究，小明得出结论是，而要证明结论，就需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等（一个是直角三角形一个是钝角三角形）考虑到点是的中点，小明想到的方法是如图，取的中点，连接，证明，从而得到．

（1）小明的证法中，证明的条件可以为（       ）
A．        B．        C．        D．
【类比迁移】
（2）如图3，若把条件“点上边的中点”改为“点上边的任意一点”，其余条件不变，是否仍然成立若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由．
【拓展应用】
（3）已知，四边形是正方形，点是直线上一动点，，且交正方形外角平分线于点，若，，则长为______．

3 . 已知：，平分交于点G．

(1)提出问题：如图①，，，，试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)探索发现：如图②，，，当时，________；
(3)拓展探究：如图②，若，，，则________（请用含，的式子表示）．

6 . 综合与实践
利用正方形纸片的折叠开展数学活动，探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．
如图①，E 为正方形的 边上的一个动点，，将正方形对折，使点与 点重合，点与 点重合，折痕为 ．

思考探索
（1）将正方形展平后沿过点的直线折叠，使点的对应点落在上，折痕为 ， 连接 ， 如图②，请根据以上条件填空．
①点 在以点 为圆心，                           的长为半径的圆上（填线段）；
②的长为                                 ；
拓展延伸
（2）当时，正方形 沿过点的直线（不过点）折叠后，点的对应点落在正方形 的内部或边上．
① 求 面积的最大值；
② 连 接，为的中点，点 在上，连接求的最小值．

7 . 综合与实践
正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接；
[初步探究]
（1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为．
[探索发现]
（2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图③，连接AE，若，，则的长为________．

8 . 综合与实践
探究方法：如图1，在正方形中，已知，，点E、F分别在、上，．

(1)如图1，把绕点逆时针旋转至，直接写出线段、和之间的数量关系；
(2)方法迁移：如图2，在四边形中，已知，，点E、F分别在、上，，若、都不是直角，但满足，（1）的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
(3)问题应用与拓展：如图1，若，则________；
(4)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，则的长为_________．

10 . 【问题背景】已知：在中，，点D、E分别为直线BC上两动点，探究线段、、三条线段之间的数量关系：

（1）如图1，当时，点D、E分别为线段上两动点且，猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想__________；
【问题拓展】（2）如图2，当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；
【问题迁移】（3）如图3，当时，点D、E在边上，，点F在边上，点F到的距离是且，，求的面积．