1 . 操作与探究：
数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展操作与探究活动．
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，连接．

(1)操作发现：
根据以上操作，当点落在折痕上时，如图1所示，此时______；
(2)迁移探究：
当点落在对角线上时，如图2所示，连接，与分别交于点，试判断线段与的数量关系，并说明理由；
(3)拓展应用：
如图3，连接，若正方形的边长为4，且，连接，则______．

2 . 【实践操作】

（1）如图1，是等边三角形，D是外一点，且，如果将绕点A顺时针旋转，得到，直接写出线段，，之间的数量关系；
【类比探究】
（2）如图2，是等腰直角三角形，，D是外一点，且，试写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在四边形中，，，若，，，求的长和四边形的面积．

5 . 在中，，．

【问题提出】
（1）如图1，点D为边上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是      ；
【问题探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长      （用含m的式子表示）．

6 . 如图，和都是等腰直角三角形，．

(1)【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
(2)【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
(3)【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．

7 . 课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点C是外一点，连接，，求的度数．

   

（1）阅读并补充完成下面推理过程．
解：过点C作，
所以_________（__________），
_________（___________）．
又因为，
所以．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知，试探究，，之间有何等量关系，并说明理由．提示：过点P作．

   

深化拓展：
（3）已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间．

   

①如图3，点B在点A的左侧，若，则的度数为________°．
②如图4，点B在点A的右侧，且．若，则的度数为________°．（用含n的式子表示）

8 . 综合与实践．
【问题发现】（1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：．

【类比探究】（2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值．
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，．若，则当是直角三角形时，请直接写出线段的长．

9 . 综合与实践：

【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形中，是边上一点，于点，，，，求证：四边形为正方形；
【实践探究】（2）小宇受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，是边上一点，于点，于点，交于点，请探究线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展迁移】（3）小阳深入研究小宇提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，是边上一点，于点，点在上，且，连接，，请探究线段与的数量关系并说明理由．