1 . 操作初探：
（1）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；再对折，使与重合，得到折痕，展平纸片，连接，与交于点，连接，．则的值为________；
猜想证明：
（2）如图2，将正方形纸片对折，使与重合，展平纸片，得到折痕；点在边上，连接，与交于点，连接，将绕点逆时针旋转，使点的对应点'落在对角线上，连接．当点在边上运动时（点不与，重合），试判断的形状，并说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，连接，．当平分时，请证明．

2 . 【问题探究】
（1）如图①，点P是等边内一点，，，，则的度数为______；
【类比迁移】
（2）如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的长；
【拓展应用】
（3）如图③，某公园有一块矩形水池，米，米，为方便观赏游玩，工作人员计划在水池内P，Q两点处增加亭台，连接，且，怎样选择点P和点Q的位置，可以使最小？并求出的最小值．

7 . 某数学兴趣小组在数学实践课上开展了“菱形折叠”研究活动．
第一步：每人制作边长都为7的菱形纸片若干个，四个顶点为A、B、C、D(为保持一致，活动中， 小组内制作图形各点名称命名规则相同)；
第二步∶在边上分别取点M、N(不含端点)，将四边形 沿翻折，使线段的对应线段经过顶点 D(点A、B分别与点 E、F对应)．
操作判断

（1）智慧小组按上述步骤折叠后得到如图1所示的图形，若则______．
迁移探究
（2）缜密小组按上述步骤折叠后如图2所示，已知求的长；
拓展延伸
（3）创新小组按上述步骤折叠后，要使是以为直角边的直角三角形，请你在图3 中帮他们画出满足条件的图形（草图即可），并求出对应的的长．

8 . （1）阅读理解：为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小曲在组内做了如下尝试：如图1，是的中线，延长至点，使，连接．利用全等将边转化到．在这个过程中小曲同学证三角形全等，用到的全等判定方法是             ，另外他还得到了和的位置关系是                 ．

（2）问题解决：如图2，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．

（3）问题拓展：如图3，中，，，点在线段上，连接，，．若点为中点，交于点，求和的数量关系．