1 . 观察下列运算：
①由，得；
②由，得；
③由，得．
(1)通过观察，将你发现的规律用含有的式子表示出来，并注明的取值；
(2)利用你发现的计算
．

2 . 如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点…按这样的运动规律经过第2023次运动后，动点P的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为_______．

4 . 将一些棋子按如图所示的规律摆放，若在某个图中棋子的个数恰好为160个，则这个图的序号是______．

5 . 我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形揭示(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律，此三角形称为“杨辉三角”．






…

根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为____________．

6 . 观察下列图形：若，在第个图中，可得，则按照以上规律， ________．

7 . 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护。通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示；如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十六烷的化学式为______．

8 . 如图，在平面直角坐标系中，，，，是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点，依次放在点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点落在点的位置，第2次滚动使点落在点的位置，…，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点的坐标是（     ）

A．

B．

C．

D．

9 . 小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：
【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；

【规律初探】
（2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积的取值范围；

【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求的值．

10 . 我们知道，因此将的分子、分母同时乘“”，分母就变成了1，原式可化简为，所以有．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)化简：；
(2)若，，求代数式的值；
(3)根据以上规律计算：．