1 . 【阅读材料】
【问题】已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为
，则
，所以
，把，代入已知方程，得
．
化简，得
，故所求方程为．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；
【拓展运用】
（2）已知关于
的一元二次方程
有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【问题】已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为
，则，所以，把，代入已知方程，得．化简，得
，故所求方程为．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
【类比探究】
（1）已知方程
，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______；【拓展运用】
（2）已知关于
的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
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名校
2 . 【深度阅读】苏格兰哲学家托马斯•卡莱尔（1795﹣1881）曾给出了一元二次方程
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点
，
，以
为直径作
．若交x轴于点
，
，则m，n为方程的两个实数根．
【自主探究】（1）由勾股定理得，
，
，
，在
中，
，所以
，化简得：
.同理可得
所以m，n为方程的两个实数根．
【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M，N．
（3）已知点，
，以为直径作
．判断与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点
，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，以为直径作．若交x轴于点，，则m，n为方程的两个实数根．【自主探究】（1）由勾股定理得，
，，，在中，，所以，化简得：.同理可得 所以m，n为方程
的两个实数根．【迁移运用】（2）在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M，N．（3）已知点
，，以为直径作．判断与x轴的位置关系，并说明理由．【拓展延伸】（4）在平面直角坐标系中，已知两点
，，若以为直径的圆与x轴有两个交点M，N，则以点M，N的横坐标为根的一元二次方程是 ．
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2023-11-28更新
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129次组卷
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3卷引用：江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题
江苏省连云港市海州区新海实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题广东省深圳市南山区深圳市深中南山创新学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）清单04 与一元二次方程有关的动点问题 （7种题型解读（25题））-2023-2024学年九年级数学上学期期末考点大串讲（苏科版）
名校
3 . 阅读材料．材料：若一元二次方程
的两个根为
，
，则
，
．
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，，则
，
．
(2)类比探究：已知实数
，
满足
，
，且
，求
的值．
(3)思维拓展：已知实数
，
分别满足
，
，且
，求
的值．
的两个根为，，则，．(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，，则 ， ．(2)类比探究：已知实数
，满足，，且，求的值．(3)思维拓展：已知实数
，分别满足，，且，求的值．
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名校
4 . 【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点
、
，以为直径作．若交x轴于点
、
，则
为方程两个实数根．
(1)【探究】由勾股定理得，
，
，，在
中，，所以
．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根．
(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程两根为横坐标的点M、N．
(3)已知点、
，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由．
(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点
、
，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______．
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若交x轴于点、，则为方程两个实数根．(1)【探究】由勾股定理得，
，，，在中，，所以．化简得：，同理可得：______．所以m、n为方程的两个实数根．(2)【运用】在图2中的x轴上画出以方程
两根为横坐标的点M、N．(3)已知点
、，以为直径作．请运用以上知识判断与x轴的位置关系，并说明理由．(4)【拓展】在平面直角坐标系中，已知两点
、，若以为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程______．
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5 . 【新知】
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根．
【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（−b−m）2，AB2＝（1−c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+（−b−m）2＝（1−c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ．所以m、n为方程的两个实数根．
【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 ．
19世纪英国著名文学家和历史学家卡莱尔给出了一元二次方程
的几何解法：如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、B（−b，c），以AB为直径作⊙P．若⊙P交x轴于点M（m，0）、N（n，0），则m、n为方程两个实数根．【探究】
（1）由勾股定理得，AM2＝12+m2，BM2＝c2+（−b−m）2，AB2＝（1−c）2+b2，在Rt△ABM中，AM2+BM2＝AB2，所以12+m2+c2+（−b−m）2＝（1−c）2+b2．化简得：m2+bm+c＝0，同理可得： ．所以m、n为方程
的两个实数根．【运用】
（2）在图2中的x轴上画出以方程x2−3x−2＝0两根为横坐标的点M、N．
（3）已知点A（0，1）、B（6，9），以AB为直径作⊙C．判断⊙C与x轴的位置关系，并说明理由．
【拓展】
（4）在平面直角坐标系中，已知两点A（0，a）、B（−b，c），若以AB为直径的圆与交x轴有两个交点M、N，则以点M、N的横坐标为根的一元二次方程 ．
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2022-11-08更新
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314次组卷
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3卷引用：江苏省南京市建邺区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
名校
6 . 定义：关于x的一元二次方程
（其中a，b，c是常数，且
）是关于x的一元二次方程
（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：
是
的“友好”方程．
(1)【概念感知】
的“友好”方程是____________；
(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程
（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断
是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．
(3)【拓展提升】若关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的解为
，且
也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
（其中a，b，c是常数，且）是关于x的一元二次方程（其中a，b，c是常数，且）的“友好”方程．例如：是的“友好”方程．(1)【概念感知】
的“友好”方程是____________；(2)【问题探究】若关于x的一元二次方程
（其中a，b，c是常数，且）的一个解为3，请判断是否为该方程的“友好”方程的一个解？若是，请证明；若不是，请说明理由．(3)【拓展提升】若关于x的一元二次方程
（其中a，b，c是常数，且）的解为，且也是其“友好”方程的解，求a，c之向的数量关系．
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2022-03-10更新
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419次组卷
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2卷引用：江西省新余市第四中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
名校
7 . 阅读材料，解答问题：
已知实数，满足
，
，且，则，是方程
的两个不相等的实数根，由韦达定理可知
，
．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数
，
满足：
，
，且
，则
_____，
______；
(2)间接应用：在（1）条件下，求
的值；
(3)拓展应用：已知实数，满足：
，
且
，则
______．
已知实数
，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．根据上述材料，解决以下问题：
(1)直接应用：已知实数
，满足：，，且，则_____，______；(2)间接应用：在（1）条件下，求
的值；(3)拓展应用：已知实数
，满足：，且，则______．
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2023-05-19更新
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278次组卷
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2卷引用：2023年湖北省襄阳市樊城区中考一模数学试题
8 . 阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，，则
_________．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求
的值．
(3)思维拓展：已知实数、满足
，
，且，求
的值．
材料1：若关于
的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为，，求的值．解：∵一元二次方程
的两个实数根分别为，，∴
，，则．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，，则_________．(2)类比应用：已知一元二次方程
的两根分别为、，求的值．(3)思维拓展：已知实数
、满足，，且，求的值．
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9 . 阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为
，
，则，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：
一元二次方程的两个实数根分别为，，
，，
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ． ．
(2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
(3)思维拓展：已知实数、满足
，
，且
，求
①
；
②
的值．
材料1：若关于
的一元二次方程的两个根为，，则，．材料2：已知一元二次方程
的两个实数根分别为，，求的值．解：
一元二次方程的两个实数根分别为，，，，则
．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程
的两个根为，，则 ． ．(2)类比应用：已知一元二次方程
的两根分别为、，求的值．(3)思维拓展：已知实数
、满足，，且，求①
；②
的值．
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真题
名校
10 . 阅读材料：
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝
，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值．
(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝
，x1x2＝材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，
则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求
的值．(3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求
的值．
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2022-06-15更新
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4714次组卷
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62卷引用：2022年四川省凉山州中考数学真题
2022年四川省凉山州中考数学真题（已下线）专题07 一元二次方程-2022年中考数学真题分项汇编（全国通用）（第1期）（已下线）专题03 方程与不等式-2022年中考数学真题分项汇编 （四川专用）（已下线）专题04 方程（组）与不等式（组）-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（四川专用）（已下线）第02练 一元二次方程的根与系数的关系-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（苏科版）（已下线）21.2 解一元二次方程-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（人教版）（已下线）专题21.33 一元二次方程中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）（已下线）专题2.33 一元二次方程中考真题专练（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）（已下线）第14课 一元二次方程的根与系数的关系-2022-2023学年九年级数学上册课后培优分级练（北师大版）（已下线）专题2.36 《一元二次方程》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（北师大版）湖北省咸宁市嘉鱼县城北中学2022-2023学年九年级上学期 第一次月考数学模拟试题（已下线）专题21.36 《一元二次方程》挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）-2022-2023学年九年级数学上册基础知识专项讲练（人教版）河南省南阳市邓州市张村乡中学2022-2023学年九年级上学期9月月考数学试题广东省惠州市惠阳区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题山东省临沂市蒙阴县高都镇中心学校2022-2023学年九年级上学期10月月考数学试题广西壮族自治区南宁市教育局教学研究室2022-2023学年九年级上学期期中数学试题甘肃省兰州市城关区第十一中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）2022年四川省凉山州中考数学真题变式题21-28题四川省宜宾市南溪区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（已下线）一元二次方程03综合测河南省南阳市南召县城关镇第二初级中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题河南省南阳市南召县2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（已下线）专题2.4 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（知识要点+专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）（已下线）专题2.29 一元二次方程（中考真题专练）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）（已下线）专题17.29 一元二次方程（中考真题专练）（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）专题17.37 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（沪科版）（已下线）题型四 阅读理解题（已下线）专题2.37 一元二次方程（挑战综合（压轴）题分类专题）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）安徽省阜阳实验中学2021-2022学年八年级下学期期末考试数学试卷山东省德州市第五中学2022-2023学年九年级下学期第一次学期摸底月考数学试题（已下线）专题07一元二次方程（优选真题60道）-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编【全国通用】河南省周口市扶沟县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题2023年河南省驻马店市汝南县一模数学试题山东省烟台市牟平区（五四制）2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（已下线）专题21.15 一元二次方程根与系数的关系（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）（已下线）专题1.15 一元二次方程根与系数的关系（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）（已下线）专题07 一元二次方程-学易金卷：三年（2021-2023）中考数学真题分项汇编（四川专用）山东省德州市德城区第五中学2022-2023学年九年级下学期3月月考数学试题山东省淄博市张店二中、齐德中学、齐盛中学2022-2023学年八年级下学期期中数学试题（已下线）专题2.15 一元二次方程的根与系数的关系（直通中考）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）（已下线）专题02 根的判别式与根与系数的关系（30题）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（人教版）黑龙江省大庆市祥阁学校2022-2023学年九年级下学期月考数学试题（已下线）专题01 一元二次方程（知识串讲+热考题型+真题训练）-2023-2024学年九年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版）（已下线）第二章 一元二次方程 能力提升卷（B卷）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）江西省宜春市袁州区宜春市第四中学2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题21.8 一元二次方程章末拔尖卷-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）（已下线）专题2.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）专题1.8 一元二次方程章末拔尖卷-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（苏科版）广东省茂名市高州市第一中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题22.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）（已下线）专题2.8 一元二次方程章末拔尖卷-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（北师大版）（已下线）专题22.8 一元二次方程章末拔尖卷-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（华东师大版）（已下线）专题1.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（苏科版）四川省德阳市旌阳区2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题陕西省西安市蓝田县2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（已下线）专题21.9 一元二次方程章末十大题型总结（培优篇）-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列（人教版）陕西省渭南市蒲城县城关镇初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题河南省周口市沈丘县中英文学校2023-2024学年九年级上学期期末数学试题吉林省辽源市龙山区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题陕西省西安市鄠邑区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题四川省南充市南部县柳驿学校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题（已下线）突破04 与代数、三角形、四边形、圆有关的阅读理解题（4类重点考向）-备战2024年中考数学真题题源解密（全国通用）
