1 . 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：
(1)当，时，写出该“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积．

2 . 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：
(1)写出一个“勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．

3 . 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：
(1)判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：
①       （填“是”或“不是”）；
②       （填“是”或“不是”）
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
(3)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．

4 . 如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax²+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

(1)试判断方程x²+2x+1=0是否为 “勾系一元二次方程”；
(2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax²+cx+b＝0必有实数根；
(3)若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax²+cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．

5 . 如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：

       

(1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积．

6 . 已知关于x的一元二次方程．
(1)证明：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根为，求m的值．

7 . 若，是一元二次方程（，a，b，c为常数）的两个根，则，．这个定理叫做韦达定理．
如：，是方程的两个根，则、
已知：M、N是方程的两根，记；，，
(1)__________， __________；（直接写出答案）
(2)当且为整数时，猜想，，之间有何关系？并证明．并利用结论求的值．

8 . 已知关于x的两个一元二次方程：
方程①：；方程②：
(1)证明方程①总有实数根，
(2)若方程②有两个相等的实数根，求k的值．
(3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式的值．

10 . 已知关于x的方程：．
(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；
(2)证明：无论k取何值，该方程总有实数根．