1 . 阅读感悟：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，C，D是线段
上的两点，
，
，
，M为
的中点，点N在线段上，且
，请你补全图形，并求线段
的长度．
以下是小欣的解答过程：
解：补全图形如图所示．
因为
，M为的中点，，
所以
________，
，
所以
________
________．
小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．”
完成以下问题：
(1)请将小欣的解答过程补充完整．
(2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段的长度．
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，C，D是线段
上的两点，，，，M为的中点，点N在线段上，且，请你补全图形，并求线段的长度．以下是小欣的解答过程：
解：补全图形如图所示．
因为
，M为的中点，，所以
________，，所以
________________．小颖说：“我觉得这个题应该有两种情况，小欣只考虑了点N在点D的左侧，事实上，点N还可以在点D的右侧．”
完成以下问题：
(1)请将小欣的解答过程补充完整．
(2)根据小颖的想法，请你在备用图中画出另一种情况对应的示意图，并求此时线段
的长度．
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2 . 已知线段，点P在直线上，直线上共有三条线段：，
和
．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（ ）
，点P在直线上，直线上共有三条线段：，和．若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称P为线段的“奇妙点”，那么线段的“奇妙点”的个数是（ ）| A．3 | B．6 | C．9 | D．12 |
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3 . （1）如图，点
是线段上一点，
是的三等分点（靠近），
是
的中点，若
，求
的长．
（2）如图，已知点
为直线上一点，
，
平分
，
，求
的度数．
是线段上一点，是的三等分点（靠近），是的中点，若，求的长．（2）如图，已知点
为直线上一点，，平分，，求的度数．
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名校
4 . 已知M为线段的三等分点，且
，则线段的长为______ ．
的三等分点，且，则线段的长为
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名校
5 . 在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段
的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且
，则
的值为______ ．
的三等分点，点C是线段的中点，点E是线段延长线上一点，且，则的值为
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名校
6 . 定义：若线段上的一个点把这条线段分成
的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．
(1)如图1，点
是线段的一个三等分点，满足
，若
，则
________
．
(2)如图2，已知，点
从点
出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒
的速度沿射线方向运动
秒．
①当为何值时，点是线段的三等分点．
②在点，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒
的速度沿射线
方向运动，在运动过程中，点，点分别是
，的三等分点，请直接写出
的值．
的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．(1)如图1，点
是线段的一个三等分点，满足，若，则________．(2)如图2，已知
，点从点出发，点从点出发，两点同时出发，都以每秒的速度沿射线方向运动秒．①当
为何值时，点是线段的三等分点．②在点
，点开始出发的同时，点也从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，在运动过程中，点，点分别是，的三等分点，请直接写出的值．
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7 . 如图，C为线段的中点，
，D是线段的三等分点，则
的长是______ ．
的中点，，D是线段的三等分点，则的长是
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8 . 已知点是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则
的长为（ ）
是线段的中点，点是线段的三等分点，若，则的长为（ ）| A．3 | B．9 | C．3或6 | D．6或9 |
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9 . 已知点C为线段的三等分点，点D，E分别为线段
的中点，若，则
_____ ．
的三等分点，点D，E分别为线段的中点，若，则
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10 . 如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边．
(1)若
，求的长；
(2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边．(1)若
，求的长；(2)在线段
上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由．
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