1 . 问题情境：
如图1，，，．求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质，可得．

问题解决：
(1)如图2，，直线l分别与、交于点M、N，点P在直线l上运动，当点P在线段上运动时（不与点M、N重合），，，判断、、之间的数量关系并说明理由；
(2)在（1）的条件下，如果点P在线段的延长线或的延长线上运动时，请直接写出、、之间的数量关系；
(3)如图，，点是、之间的一点（点在点、右侧），连接、，和的平分线交于点若，请结合（2）中的规律，求的度数．

2 . 如图1，已知线段，线段在线段上运动（点不与点重合），点、分别是、的中点．

(1)若，则______；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，请直接写出当时，的度数为______．

3 . 如图，已知线段，，线段在线段上运动（点C不与点A重合），点E、F分别是、的中点．

   

(1)若，则______；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数．

4 . 在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：

(1)若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数为______．
(2)直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点开始折出一个等边三角形，设点表示的数为，点表示的数为，表示的数为，则值为______，若将从图中位置向右滚动，则数字2014对应点将与的顶点重合．
(3)类比迁移：如图（2）：，，，若射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线绕点每秒的速度顺时针旋转，射线以每秒的速度逆时针旋转，三线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．问：运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？

6 . 同学们，我们已学习了角平分线的有关知识，那么你会用它们解决有关问题吗？

（1）如图1，已知，若将沿着射线翻折，射线落在处，则射线一定平分．
理由如下：因为是由翻折而成，而翻折不改变图形的形状和大小，
所以__________，
所以射线__________是__________的角平分线．
拓展应用
（2）如图2，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在处，折痕为，再将它的另一个角也折叠，顶点落在上的处并且使过点，折痕为．直接利用（1）的结论，解答下面问题；
①若，则的度数为__________，
②若，求的度数，从计算中你发现了的度数有什么规律？（写出计算说理过程）

7 . 一个问题的解决往往经历发现规律——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．

图①                                        图②                                   备用图

（1）【发现规律】如图①，已知，，则的度数为______时，为的角平分线．（直接写出结果）
（2）【探索归纳】如图①，，，为的角平分线，猜想的度数（用含，的代数式表示），并说明理由．
（3）【问题解决】如图②，若，，，射线，同时绕点旋转，以每秒10°顺时针旋转，以每秒20°逆时针旋转，当与重合时，，同时停止运动．设运动时间为秒，问为何值时，射线为，，中任意两条射线夹角的角平分线．

8 . 如图甲，已知线段，线段在线段上运动（不与端点、重合），E、F分别是、的中点．

(1)观察发现：若，则______cm．
(2)拓展探究：当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，求出的长度，如果变化，请说明理由．
(3)迁移应用：对于角，也有和线段类似的规律：如图乙，在同一平面内，已知在内部转动，，分别平分和
①若，，求；
②请你猜想，和会有怎样的数量关系，直接写出你的结论．

9 . 将一副三角尺（分别为含，，和，，的角的两个三角尺）叠放在量角器上，，分别平分和．

(1)特例感知：如图1，若点A，O，D在同一直线上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，则__________；
(2)规律探究：如图2，当两个三角尺有重叠时，
①当时，则__________；
②当时，求的度数（用含的式子表示）．

10 . 如图，已知平分，平分．

(1)若与互为余角，且，求的度数；
(2)若，其他条件不变，求的度数；
(3)若，其他条件不变，求的度数
(4)从（1）（2）（3）中你能看出什么规律？