1 . 勾股定理是平面几何中一个极为重要的定理，世界上各个文明古国都对勾股定理的发现和研究作出过贡献．特别是定理的证明，据说方法有余种．其中我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出了证明．请你用下面弦图（由四个全等的直角三角形围成的）证明勾股定理：
如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，那么．

3 . 勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a，b为直角边的全等三角形）
(1)毕达哥拉斯的证法（图1）：（补充完整以下证明过程）

证明：正方形①的面积________．
正方形②的面积________．
又正方形①与正方形②的边长相等
________________

(2)请你写出弦图（图2）的另一种证法：

5 . 现有个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，斜边长为，将它们拼合为如图的形状．

(1)添加如图辅助线，根据该图，可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，通过面积相等，从而证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整：
整个组合图形面积表示，方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，即最后化简为______；根据面积相等，直接得等式______，化简最后结果是______，从而证明勾股定理．
(2)当，时，求空白部分的面积．

7 . 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算．
(1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想：

已知：如图，在和中，，（点，，在一条直线上），，，．
证明：；
(2)请利用“数形结合”思想，画图并推算出的结果．

8 . 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯·伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．任务：

(1)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么_______．
(2)根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为______和_______．
(3)根据（2）中的结果，写出证明过程．