1 . 勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用,勾股定理是一个非常重要的数学定理,它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用.关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种,勾股定理常见的一些证明方法是:几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等.当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时,都可以用“面积法”来证明,以下是利用图1证明勾股定理的完整过程:将两个全等的直角三角形按图1所示摆放,其中,求证:
又∵
∴
请参照上述证明方法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中,求证:.
证明:连接,过点D作交延长线于点F,则
又∵
∴
请参照上述证明方法,利用图2完成下面的证明.
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中,求证:.
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2 . 如图①,美丽的弦图,蕴含着四个全等的直角三角形.(1)弦图中包含了一大,一小两个正方形,已知每个直角三角形较长的直角边为a.较短的直角边为b,斜边长为c,结合图①,试验证勾股定理;
(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓线的周长为,,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为、、,若,求.
(2)如图②,将这四个直角三角形紧密地拼接,形成飞镖状,已知外围轮廓线的周长为,,求该飞镖状图案的面积;
(3)如图③,将八个全等的直角三角形紧密地拼接,记图中正方形,正方形,正方形的面积分别为、、,若,求.
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3 . 现有个全等的直角三角形(阴影部分),直角边长分别为,斜边长为,将它们拼合为如图的形状.(1)添加如图辅助线,根据该图,可以用两种不同的方法计算整个组合图形的面积,通过面积相等,从而证明勾股定理,请你将下面的证明过程补充完整:
整个组合图形面积表示,方法一:以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;方法二:以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;根据面积相等,直接得等式______,化简最后结果是______,从而证明勾股定理.
(2)当,时,求空白部分的面积.
整个组合图形面积表示,方法一:以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;方法二:以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积,即最后化简为______;根据面积相等,直接得等式______,化简最后结果是______,从而证明勾股定理.
(2)当,时,求空白部分的面积.
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4 . 现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在中,,若,,,请你利用这个图形解决下列问题:(1)证明:;
(2)若拼成的大正方形面积为169,小正方形的面积为49,求的值.
(2)若拼成的大正方形面积为169,小正方形的面积为49,求的值.
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5 . 通过本学期的学习,我们已初步认识了勾股定理,它最早是由我国周朝时期的商高提出的,后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得,我们称之为“赵爽弦图”.如图,,,.(1)请根据赵爽弦图,用面积法证明:.
(2)若正方形面积为49,正方形的面积为25,求的值.
(2)若正方形面积为49,正方形的面积为25,求的值.
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6 . 在勾股定理的学习过程中,我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理,这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法,简称为“无字证明”,它体现了数形结合的思想.下列选项中的图形,不能证明勾股定理得是( )
A. | B. | C. | D. |
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7 . 探究与运用
问题情境:
勾股定理是一个古老的数学定理,它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理.
定理表述:
(1)请你结合图1中的直角三角形,叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述);尝试证明:
(2)利用图1中的直角三角形可以构造出图2的正方形,请你利用图2证明勾股定理.定理应用:
(3)某工程队要从点向点铺设管道,由于受条件限制无法直接沿着线段铺设,需要绕道沿着矩形的边和铺设管道,经过测量米,米,已知铺设每米管道需资金1000元,请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元?
问题情境:
勾股定理是一个古老的数学定理,它有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理.
定理表述:
(1)请你结合图1中的直角三角形,叙述勾股定理(可以选择文字语言或符号语言叙述);尝试证明:
(2)利用图1中的直角三角形可以构造出图2的正方形,请你利用图2证明勾股定理.定理应用:
(3)某工程队要从点向点铺设管道,由于受条件限制无法直接沿着线段铺设,需要绕道沿着矩形的边和铺设管道,经过测量米,米,已知铺设每米管道需资金1000元,请你帮助工程队计算绕道后费用增加了多少元?
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8 . 在劳动技术课上,某同学利用旋转的知识制作了一个如图所示的精美风车(每个扇叶旋转均可与相邻的扇叶重合),并利用风车的四个扇叶进行了如下探究.探究1:确定的形状.
探究2:验证勾股定理.
设,,.
由旋转可知,,,,
∴①,②,③,④.
由图形可知,,则⑤,
∴.
探究3:计算的面积.
(1)为____________三角形.
(2)补全探究2中的证明过程.
(3)若,,直接利用(1)(2)中的结论,求的面积.
探究2:验证勾股定理.
设,,.
由旋转可知,,,,
∴①,②,③,④.
由图形可知,,则⑤,
∴.
探究3:计算的面积.
(1)为____________三角形.
(2)补全探究2中的证明过程.
(3)若,,直接利用(1)(2)中的结论,求的面积.
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9 . 操作与探究
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法.某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法.赵爽在注解《周髀算经》时,给出了“赵爽弦图”,通过此图的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.
定理探究
(1)如图1,在网格中有一个直角三角形,请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”;
(2)若直角三角形中,,,,请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理.
实践应用
(3)有两个正方形如图2所示放置在网格中,请你通过切割、拼接,把这两个正方形转化成一个大正方形,请设计出你的方案(画出分割线和拼成的大正方形).
问题情境
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法.某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法.赵爽在注解《周髀算经》时,给出了“赵爽弦图”,通过此图的切割、拼接,巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.
定理探究
(1)如图1,在网格中有一个直角三角形,请你把它补成一个完整的“赵爽弦图”;
(2)若直角三角形中,,,,请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理.
实践应用
(3)有两个正方形如图2所示放置在网格中,请你通过切割、拼接,把这两个正方形转化成一个大正方形,请设计出你的方案(画出分割线和拼成的大正方形).
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10 . 用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题,这种方法称为等面积法,这是一种重要的数学方法,请你用等面积法来探究下列两个问题:(1)如图是著名的“赵爽弦图”, 由四个全等的直角三角形拼成,请用它验证勾股定理;
(2)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求的值.
(2)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求的值.
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