1 . 如图，在四边形中，，，

(1)尺规作图：在上截取，作交于点F；
（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证明：∵
∴ ①
∵
∴ ②
∴ ③
∴四边形为平行四边形
∵
∴ ④
∴

2 . 有这样一个作图题目：画一个平行四边形，使，，．
下面是小红同学设计的尺规作图过程．
作法：如图，

作线段，
以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点；
再以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点；
连接，，．
所以四边形即为所求作平行四边形．
根据小红设计的尺规作图过程．
(1)使用直尺和圆规，补全图形；保留作图痕迹
(2)完成下列证明．
证明：以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，
______，______．
以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，
∴，，
又，
，______．
四边形是平行四边形______填推理依据．

3 . 下面是小橙设计的“已知两相交直线作矩形”的尺规作图过程：

已知；如图，直线与直线相交于点O． 求作：矩形，使矩形的四个顶点在这两条直线上． 作法： ①在直线上任取一点A（不与点O重合） ②以点O为圆心，为半径作弧依次与直线、于点B、C、D； ③连接，，，． 即四边形就是所求作的矩形．

(1)使用直尺和圆规，按照作法补全图（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明：
证明：
∵，，
∴四边形是            ．（                                                ）
∵，
∴，即，
∴四边形是矩形．（                                                    ）（填推理的依据）

4 . 下面是小明同学设计的“已知一组邻边构造平行四边形”的尺规作图过程．
已知：如图，线段．求作：平行四边形．
作法：①分别以A、C为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D；
②连接．四边形即为所求作的平行四边形．
   
(1)请你使用直尺和圆规，帮助小明补全尺规作图过程（保留作图痕迹）；
(2)证明上述作法所得的四边形是平行四边形．

5 . 如图，在四边形中，，，平分．

(1)尺规作图：作的平分线交于点F（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）中所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）．
解：（2）证明：
∵，，
∴____________，
∴，
∴______，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴______＝______，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴____________．

6 . 如图，在平行四边形中，，点E是线段上的一点，连接．

(1)在线段上求作一点F，使得（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，证明：四边形为平行四边形的结论（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由）．
解：（2）证明：在平行四边形中，
∵，
∴_________________，
∴四边形是矩形，
∴，，，
在和，
，
∴，
∴_____________，，
∴，
∴_____________，
∴四边形为平行四边形（两边分别相等的四边形为平行四边形）．

7 . 如图，在中，点为边上的中点，连接．
(1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图中，连接，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程）
证明：∵点为边上的中点，
∴，在和中，

∴ ______，
∴ ______，
∵，
∴ ______．
∴四边形是平行四边形．
又∵______，
∴平行四边形是菱形．

8 . 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．

小明的做法如下：
①以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②两弧在AB上方交于点D，连接DA、DC．四边形ABCD即为所求矩形．
请你根据小明同学设计的尺规作图过程：
(1)使用直尺和圆规，依作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明：
证明：
∵AD＝BC，CD＝AB，
∴四边形ABCD是平行四边形（       ）填推理依据，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（       ）填推理依据．

9 . 如图，中，是边上的中线，于点 ，

(1)尺规作图：过 作于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程，不写证明理由）
证： ，
___________．
∵是边上的中线，
∴___________．
∵在 和 中，

___________，

∴．
∴___________．
∵，
∴四边形是平行四边形．