1 . 已知.
(1)求证： ；
(2)若，且，求证：．

2 . 今有一台天平，两臂之长略有差异，其他均精确.有人用它来测量物体质量，方法是将物体放在左右两个托盘上各称一次，然后取两次称得的质量的算术平均数作为测量结果，则这个平均数是否就是物体的实际质量？若是，请证明；若不是，请说明是小于物体的实际质量还是大于物体的实际质量.

3 . 已知函数，且.
（1）判断并证明在区间上的单调性；
（2）若函数与函数在上有相同的值域，求的值；
（3）函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围.

4 . （1）若、，，证明：；
（2）已知、、，，请写出一个类似于（1）的真命题，并证明你的结论．

5 . 下面的问题与著名的柯西不等式有关，请你比较与的大小，并猜测更一般的结论（不必证明）．

6 . 设函数，
(1)用定义证明：函数是R上的增函数；
(2)证明：对任意的实数t，都有；
(3)求值：．

7 . 已知，若、，试判断与的大小，并加以证明.

8 . 已知函数．
（1）求，的值；
（2）求证：是定值；
（3）求的值．

9 . 经计算可发现：，，，试写出一个使成立的正实数、满足的条件，并给出证明.

10 . 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断并证明在上的单调性．